En mathématiques, un symbole de Steinberg est une fonction de deux variables qui généralise le symbole de Hilbert et joue un rôle en K-théorie algébrique des corps.
Définition Un symbole de Steinberg (ou simplement : un symbole) sur un corps F est une application (–, –) de F* × F* dans un groupe abélien G, noté multiplicativement, telle que pour tous a, b, c dans F*, (bimultiplicativité) (ab, c) = (a, c)(b, c) et (a, bc) = (a, b)(a, c) si a + b = 1, alors (a, b) = 1.
Autrement dit : (–, –) est la composée d'un morphisme à valeurs dans G par le symbole universel, de F* × F* dans le groupe abélien F* ⊗ F* / 〈 a ⊗ (1 – a) | a ≠ 0, 1 〉. D'après un théorème de Matsumoto, ce groupe coïncide avec le deuxième groupe de K-théorie de Milnor, K(F).
Propriétés Si (–, –) est un symbole, alors les équations suivantes sont vérifiées (pour tous les éléments pour lesquels elles ont un sens) : (a, –a) = 1, (b, a) = (a, b), (a, a) = (a, –1) est un élément d'ordre 1 ou 2, (a, b) = (a + b, –b/a).
Exemples Le symbole de Hilbert sur F, à valeurs dans {±1}, est défini par Le est un symbole pour l'anneau des séries formelles de Laurent sur un anneau artinien.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
Article connexe Groupe de Steinberg (K-théorie)
Catégorie:K-théorie