K-théorie de Milnor

La K-théorie de Milnor, théorie mathématique introduite par John Milnor., fait partie des premières tentatives pour définir les groupes de K-théorie algébrique d'ordre supérieur.

Définition Le calcul du K d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien F par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur induit un produit qui fait de un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué)..

Propriétés

Structure d'anneau Le module gradé est un anneau gradé commutatif pg 1-3 . Si nous écrivons

comme

alors pour et nous avons

La preuve de cette propriété fait apparaître d'autres propriétés, comme pour , car . De plus, si la somme d'éléments non nuls du corps est égal à 0 ou 1, alors Il existe une application arithmétique directe : est une somme de carrés si et seulement si chaque de dimension positive est nilpotent. Cette affirmation est puissante, et concerne la structure des de Milnor. En particulier, pour les corps , avec , tous ses de Milnor sont nilpotents. Dans le cas inverse, le corps peut être plongé dans un corps fermé réel, ce qui induit un ordre total sur le corps.

Relation avec les groupes de Chow supérieurs et la K-théorie supérieure de Quillen Une des propriétés phares reliant la K-théorie de Milnor à la K-théorie algébrique supérieure est le fait qu'il existe des isomorphismes naturels vers les groupes de Chow supérieurs de Bloch, qui induisent un morphisme d'anneaux gradés. On peut le vérifier en utilisant un morphisme explicitepg 181 où Cette application est donnée par pour la classe du point avec . La propriété principale à vérifier est que pour et . Notons que ce dernier est distinct de vue que c'est un élément de . Par ailleurs, la seconde propriété implique la première pour . Cette vérification peut être faite en utilisant une courbe rationnelle définissant un cycle dans dont l'image à travers est la somme pour , montrant qu'ils différents d'une limite (boundary). De la même manière, si , envoie alors ce cycle vers , montrant qu'ils différent d'une limite. La seconde propriété prinicpale à montrer et celle des relations de Steinberg. Avec elles, et le fait que les groupes de Chow supérieurs ont une structure d'anneau on obtient une application explicite . Montrer que cette application dans l'autre direction est un isomorphisme demande davantage de travail, mais on obtient On peut alors relier les groupes de Chow supérieurs à la K-théorie supérieurs en utilisant qu'il y a des isomorphismesdonnant alors la relation à la K-théorie algébrique supérieure de Quillen. Notons que les applications

allant des K-groupes de Milnor d'un corps aux K-groupes de Quillen, sont des isomorphismes pour mais pas pour des valeurs de n plus grandes, en général. Pour des éléments non nuls de F, le symbole dans est définie comme l'image de dans l'algèbre tensorielle. Tout élément de la K-théorie de Milnor peut s'écrire comme une somme finie de symboles. Le fait que dans pour est parfois appelée la relation de Steinberg .

Représentation en cohomologie motivique En cohomologie motivique, et plus précisément en théorie de l'homotopie motivique, il existe un faisceau représentant une généralisation de la K-théorie de Milnor avec des coefficients dans un groupe abélien . En écrivant nous définissons alors le faisceau comme la sheafification du préfaisceau pg 4 Notons que les sections de ce préfaisceau sont des classes d'équivalence de cycles sur avec coefficients dans , qui sont équidimensionnelles et finies sur (ce qui découle directement de la définition de ). Il est possible de démontrer qu'il existe une -faible équivalence avec les faisceaux motiviques d'Eilenberg-Maclane (selon la convention de notation). Exemples Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

K(F) = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen K(F), pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre q – 1).

K(ℂ) est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K(ℝ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K(ℚ) est la somme directe du groupe multiplicatif de F et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K(ℚ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

Liens avec d'autres théories La K-théorie de Milnor joue un rôle essentiel en théorie des corps de classes , remplaçant K utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée k(F), est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la , démontrée par Voevodsky et Rost.

On définit le « symbole » {a, … , a} comme l'image de a⊗ … ⊗ a dans K(F) : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg..

On définit pour tout n un morphisme de k(F) dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la de dimension 2

Vu comme à valeurs dans I/I, ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement I.. La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme.

Références

Catégorie:Algèbre homologique