Une catégorie de Kleisli est une catégorie associée à une monade. Elle tient son nom du mathématicien suisse qui l'a introduite à l'origine pour montrer que toute monade est issue d'une adjonction.
Définition
On considère une monade sur une catégorie . La catégorie de Kleisli possède les mêmes objets que mais les morphismes sont donnés par
L'identité est donnée par , et la composition fonctionne ainsi : si et , on a
qui correspond au diagramme :
Les morphismes de de la forme sont parfois appelés morphismes de Kleisli.
Monades et adjonctions
On définit le foncteur par :
et un foncteur par :
Ce sont bien des foncteurs, et on a l'adjonction , la counité de l'adjonction étant .
Enfin, et : on a donné une décomposition de la monade en termes de l'adjonction .
T-algèbres
Avec les notations précédentes, une T-algèbre (ou T-module) est la donnée d'un objet x de et d'un morphisme tels que
Un morphisme de T-algèbres est une flèche telle que .
Les T-algèbres et leurs morphismes forment la catégorie d'Eilenberg-Moore .
Le foncteur d'oubli possède un adjoint à gauche qui envoie tout objet y de sur la T-algèbre libre . Ces deux foncteurs forment également une décomposition de la monade initiale. Les T-algèbres libres forment une sous-catégorie pleine de qui est équivalente à la catégorie de Kleisli.
Monades et informatique théorique
On peut réinterpréter la catégorie de Kleisli d'un point de vue informatique : Le foncteur T envoie tout type X sur un nouveau type ; On dispose d'une règle pour composer deux fonctions et , donnée par la composition dans la catégorie de Kleisli, qui est associative et unitale. On obtient une fonction ; Le rôle de l'unité est joué par l'application pure .
Référence
Catégorie:Théorie des catégories