En mathématiques, une série diagonale est une série univariée, formelle ou convergente, obtenue à partir d'une série multivariée par extractions des coefficients diagonaux.
Définition
Soit f une série formelle en les variables :
La diagonale de f, notée , est la série univariée définie par
Exemple
Si f est la série correspondant au développement en série de la fraction , alors est la série
où K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.
Propriétés
Propriétés différentielles
Soit f une série formelle en les variables . Le théorème de Lipshitz. affirme que si f est , alors l'est aussi. En particulier, si f est une série rationnelle alors satisfait une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux.
Théorèmes de Fürstenberg En 1967, Hillel Furstenberg a démontré plusieurs résultats sur le lien entre les diagonales de fractions rationnelles et les séries algébriques..
Soit f une fraction rationnelle en les variables à coefficients dans un corps fini, développable en série entière.
Alors la diagonale de f est une fonction algébrique.
Par exemple, si on considère la diagonale de modulo 5, on calcule que
Ainsi, les diagonales de fractions rationnelles à coefficients rationnels ont la propriété remarquable d'être algébriques quand on les réduit modulo un nombre premier (sauf peut-être pour un nombre fini d'entre eux, si la réduction de la fraction est impossible), même si elles ne sont pas algébriques sur ℚ.
Références
Diagonale Catégorie:Algèbre commutative