thumb|300px|Le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster–Kuratowski
En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski, est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.
Construction L'éventail de Knaster–Kuratowski se construit à partir de l'ensemble de Cantor et du point du plan ℝ, qui servira de sommet. Pour chaque point de , on considère le segment de droite reliant à . L'ensemble obtenue par la réunion de tous ces segments, pour tout est connexe. Si on enlève il non-connexe mais pas totalement discontinu.
Pour le rendre totalement discontinu, sur chaque segment reliant à on ne conserve que les points dont l'ordonnée est : rationnelle si est une extrémité d'un des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble de Cantor ; irrationnelle sinon. L'espace obtenue est l'éventail de Knaster–Kuratowski de sommet .
Propriétés L'éventail de Knaster–Kuratowski munie de la topologie induite est connexe et totalement discontinu si on enlève . C'est-à-dire que la composante connexe de chaque élément est le singleton . Cependant il n'est pas « totalement séparé » : deux points situés sur une même « branche » ne sont pas séparés par un ouvert-fermé.
Sa dimension topologique est 1, exemple 9.12..
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Collier d'Antoine Cône (topologie)
Bibliographie
Catégorie:Espace topologique remarquable