En mathématiques, la K-topologie : , ou topologie de Smirnov de la suite supprimée, 64 : « », est une topologie particulière sur l'ensemble ℝ des réels, plus fine que la topologie usuelle et pour laquelle l'ensemble K des inverses des entiers naturels non nuls est fermé (alors que pour la topologie usuelle, 0, qui n'appartient pas à K, est un point d'accumulationC'est en fait le seul. de K). D'autres propriétés remarquables de cet espace en font un contre-exemple utile en topologie générale.
Définition
Soit K = {1/n | n ∈ ℕ*}. La famille de tous les intervalles réels ouverts ]a, b[ et de tous les ensembles de la forme a, b\K forme une base de topologie. La topologie engendrée par cette famille est appelée la K-topologie sur ℝ et cet espace topologique est noté ici ℝ.
Propriétés Cette topologie est plus fine que la topologie usuelle sur ℝ (donc est séparée et même d'Urysohn comme elle) mais n'est pas comparable à la topologie de la droite de Sorgenfrey. Elle est à base dénombrable (donc séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf). L'espace ℝ est connexe, mais pas connexe par arcs car il a deux composantes connexes par arcs : et . Il n'est donc pas localement connexe par arcs. Il n'est d'ailleurs même pas localement connexe en 0 (mais l'est en tout autre point). La partie K est infinie et sans point d'accumulation donc ℝ n'est pas dénombrablement compact (donc pas non plus séquentiellement compact, puisqu'il est à base dénombrable). De même, aucun sous-espace contenant K (comme le segment [0, 1]) n'est dénombrablement compact. L'espace quotient ℝ/K n'est pas séparé. ℝ n'est pas régulier (le fermé K et le point 0 ne sont pas par deux ouverts disjoints) mais c'est un espace G. Il n'est pas paracompact (puisqu'il n'est pas normal) mais seulement .
Notes et références
Catégorie:Espace topologique remarquable