En mathématiques, la condition de chaîne dénombrable est une notion concernant les ensembles ordonnés.
Définition Dans un ensemble ordonné E, on appelle antichaîne forte tout ensemble d'éléments de E deux à deux incompatibles, ou encore, toute partie de E dont aucune paire n'est minorée. C'est donc une partie A telle que
On dit que E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque toute antichaîne forte de E est au plus dénombrable.
de chaînes comme noethérien ou artinien mais, l'appellation historique.
On peut généraliser. Pour un cardinal κ donné, on dit que E vérifie la κ-condition de chaîne lorsque toute antichaîne forte de E est de cardinal strictement inférieur à κ. Ainsi, la condition de chaîne dénombrable correspond à la ℵ₁-condition de chaîne.
Espaces topologiques On dit qu'un espace topologique E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque l'ensemble de ses ouverts non vides, ordonné par l'inclusion, vérifie la condition de chaîne dénombrable comme défini ci-dessus. Cela revient à dire que toute famille d'ouverts non vides de E deux à deux disjoints est au plus dénombrable. On dit alors que sa cellularité est au plus dénombrable.
Par exemple, la cellularité d'un espace discret est égale à son cardinal.
Si un espace est séparable alors il vérifie la condition de chaîne dénombrablePlus généralement, la cellularité d'un espace est inférieure ou égale à sa densité..
La réciproque est vraie pour un espace métrisable mais fausse en général : par exemple {0, 1}, comme tout produit d'espaces séparables, vérifie la condition de chaîne dénombrablePlus généralement, si κ est un cardinal infini, tout produit d'espaces de densités majorées par κ a une cellularité inférieure ou égale à κ : . mais il n'est séparable que si κ ≤ ℭ..
Notes et références
Articles connexes Antichaîne Axiome de Martin Fonctions cardinales en topologie Problème de Souslin
Catégorie:Logique mathématique Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Topologie générale