Une loi de fiabilité permet de prédire la probabilité d'occurrence d'une défaillance (panne) d'un système afin d'en améliorer la fiabilité.
Données de fiabilité
Fonctions de mortalité et de survie
Lorsque les dates de défaillances sont connues avec précision
Une entreprise met sur le marché N systèmes à l'instant 0 ; on suppose que ces systèmes ne sont soumis à aucune réparation. On enregistre les moments de première panne ti : qu'on supposera classés par ordre croissant. L'indice i est appelé « rang », puisque c'est l'indice d'une suite. Le terme « moment » peut désigner une durée de fonctionnement — en général exprimée heures, jours ou années —, mais aussi un nombre de tours pour une machine tournante, un nombre de cycles pour un système fonctionnant par cycles…
À chaque instant t, on peut déterminer la proportion de systèmes ayant connu une défaillance : c'est la « mortalité », notée F :
ou, de manière indicée, puisque les ti sont classés par ordre croissant , où N est la taille de l'échantillon observé. La quantité } — nombre de systèmes ayant connu une défaillance avant t (voir Cardinal (mathématiques)) — est appelée « nombre de défaillances cumulé » ; F est aussi appelé « fréquence cumulée ». La mortalité F part de 0 — on considère que tous les systèmes sont en fonctionnement à la mise en service — et atteint 1 (ou 100 %) au bout d'un certain temps — les systèmes ne sont pas éternels et finissent tous par défaillir un jour. Cette fonction F correspond statistiquement à une fonction de répartition.
On définit également la fonction complémentaire, appelée « fiabilité » ou « survie », et notée R (pour ) : R(t) = 1 - F(t) Ri = 1 - Fi C'est en général cette fonction R que l'on considère : elle permet une présentation plus positive de la fiabilité (on parle de ce qui marche plutôt que de ce qui ne marche pas). D'un point de vue mathématiques, F est plus pertinente puisque c'est une fonction de répartition. Dans l'analyse des systèmes complexes, R est plus pertinent dans le cas des associations série, et F est plus pertinent dans le cas des associations parallèles (redondances), voir Schémas fonctionnels de fiabilité. Dans le cas d'un système suivant une loi exponentielle ou de Weibull — des situations très fréquentes —, l'expression de la loi de survie R est plus simple que celle de la loi de mortalité F.
Les instants de survenue des défaillances ti sont des variables aléatoires. De fait, R (et F) sont également des variables aléatoires, il faut donc corriger les fréquences cumulées, par des formules issues de la loi binomiale.
+ Définition des fréquences cumulée Taille de l'échantillon Formule Fréquence cumulée N ≤ 20 formule des rangs médians 20 ≤ N ≤ 50 formule des rangs moyens N ≥ 50 formule des modes
On peut par ailleurs définir un intervalle de confiance, pour un risque α bilatéral donné (niveau de confiance bilatéral 1 - α), avec la loi de Fisher, Qp(ν1, ν2) étant le quantile d'ordre p de la loi de Fisher : limite inférieure : , avec ν1 = 2(N - i + 1) ν2 = 2i limite supérieure : , avec ν1 = 2(i + 1) ν2 = 2(N - i)
Avec des données censurées L'instant exact de survenue d'une défaillance n'est pas toujours connu. Parfois, seul le nombre de défaillances survenues durant un intervalle (censure par intervalle) l'est. Par exemple, si un système est suivi pendant plusieurs années, le nombre de défaillances peut être enregistré chaque mensuellement. Ainsi, à l'instant ti, seul le nombre nj de défaillances survenues dans les intervalles ]tj - 1 ; tj] précédents est connu et on a:
éventuellement corrigé par une formule des rangs.
Cette méthode convient également lorsque l'observation est arrêtée à un moment donné, alors que certains systèmes sont encore en service: c'est un cas de censure à droite, mais pour lequel on n'a aucune donnée après la date de censure.
Par contre, cette méthode ne convient pas lorsque pour des censures à gauche ou bien des censures à droite mais avec des dates de défaillance ultérieures. C'est le cas si un système est arrêté ou bien subit une maintenance avant défaillance pour une raison quelconque. Dans ces cas-là, il est possible de calculer une probabilité Pi de défaillance sur un intervalle i, puis en déduire une fiabilité Ri.
On utilise principalement la méthode de Kaplan-Meier, la méthode actuarielle et la méthode de Turnbull, et plus rarement la méthode de Wayne-Nelson et la méthode du rang corrigé de Herd-Johnson. Si l'on n'a pas de censure, on retrouve en général la formule des rangs moyens ou bien des modes.
Densité de défaillance
On définit la densité de défaillance comme le taux de variation de la fonction de mortalité F. C'est la « vitesse de mortalité » :
ou encore :
Si n(t) est le nombre de défaillances cumulées à l'instant t (nombre de défaillances entre 0 et t), on a alors
et donc . Avec la notation indicée, on a : . Notez bien la différence entre ni, qui est le nombre de défaillances entre ti et ti + 1, et n(t) qui est le nombre de défaillances entre 0 et t.
Taux de défaillance
On définit le taux de défaillance λ (lettre grecque lambda) sur un intervalle ]t, t + Δt] comme étant l'opposé du taux de variation relatif de la survie :
C'est donc le rapport entre le nombre de défaillances dans cet intervalle sur le nombre de systèmes restants au début de l'intervalle, divisé par la durée de l'intervalle. C'est un nombre positif. On a :
ou, de manière indicée
Que signifient concrètement ces grandeurs ?
Pour une population de N systèmes R(t) est la proportion de systèmes encore en service à l'instant t. C'est la proportion de systèmes dont la durée de vie T est supérieure à t. N·R(t) est le nombre de tels systèmes. F(t) est la proportion de systèmes ayant connu une défaillance avant l'instant t. C'est la proportion de systèmes dont la durée de vie T est inférieure ou égale à t. N·F(t) est le nombre de tels systèmes. ƒ(t)·Δt est la proportion de systèmes qui connaîtront une défaillance dans l'intervalle ]t ; t + Δt]. C'est la proportion de systèmes dont la durée de vie T est dans ]t ; t + Δt]. N·ƒ(t).Δt est le nombre de tels systèmes. λ(t)·Δt est la proportion qui connaîtront une défaillance dans l'intervalle ]t ; t + Δt] parmi les systèmes encore en service à l'instant t. C'est la proportion, parmi les systèmes ayant une durée de vie supérieure à t, des systèmes dont la durée de vie T est dans ]t ; t + Δt]. N·R(t)·λ(t)·Δt est le nombre de tels systèmes.
Pour un système donné R(t) est la probabilité d'être encore en service à l'instant t. C'est la probabilité d'avoir une durée de vie T supérieure à t R(t) = P(T > t). F(t) est la probabilité d'avoir eu une défaillance avant l'instant t. C'est la probabilité d'avoir une durée de vie T inférieure ou égale à t : F(t) = P(T ≤ t). ƒ(t)·Δt est la probabilité d'avoir une défaillance dans l'intervalle ]t ; t + Δt]. C'est la probabilité d'avoir une durée de vie T dans ]t ; t + Δt] ƒ(t)·Δt = P(T ∈ ]t ; t + Δt]). λ(t)·Δt est la probabilité, si le système est encore en service à l'instant t, de connaître une défaillance dans l'intervalle ]t ; t + Δt] (probabilité conditionnelle). C'est la probabilité, si le système a une durée de vie supérieure à t, d'avoir une durée de vie T est dans ]t ; t + Δt]. λ(t)·Δt = P(T ∈ ]t ; t + Δt] | T > t). La différence entre la densité ƒ et le taux λ peut être difficile à appréhender. On suppose qu'au moment où l'on met un système en service, on sait qu'après une durée d'utilisation t dans le futur, il aura une probabilité ƒ de tomber en panneou pour être exact : une probabilité ƒ(t)·Δt de tomber en panne dans la période [t ; t + Δt]. Si maintenant on considère un système ayant déjà été utilisé pendant une durée t, on sait qu'il a une probabilité λ de défaillir maintenantou plus exactement : une probabilité λ(t)·Δt de défaillir dans la durée Δt qui suit.
Collecte des données
Le point critique est en général la collecte des données.
Le cas le plus simple est celui d'un industriel suivant son parc de machines : il demande à son équipe de maintenance d'enregistrer les défaillances. Dans le cas d'un fabricant qui voudrait évaluer les produits vendus, le problème est plus délicat. Les constructeurs automobiles imposent en général que la maintenance soit faite dans un garage de leur réseau sous peine d'annulation de la garantie, ce qui permet d'obtenir les statistiques pendant cette durée ; le problème est alors que l'on ne sait pas de quelle manière le produit a été utilisé (conduite souple ou nerveuse, autoroute ou ville), on ne connaît que la date de mise en service et le kilométrage.
Mais un fabricant peut aussi vouloir évaluer la loi de survie avant la mise sur le marché, pour pouvoir dimensionner la durée de garantie et conseiller une date de maintenance/révision. Pour cela, il peut effectuer des essais de fiabilité. L'essai doit reproduire l'utilisation réelle du produit, ce qui implique de définir un « profil de mission », c'est-à-dire un mode d'utilisation de référence (type de conduite pour un véhicule, cadence de production et réglages pour une machine industrielle, …).
Un point important consiste, lorsque c'est possible, de distinguer les différents modes de défaillance. En effet, chaque mode de défaillance suit sa propre statistique de mortalité/survie, et l'on peut voir le comportement d'un système complexe comme la composition de chacun des modes. Selon le niveau de détail visé, on peut séparer les données pour chaque organe (sous-système), ou pour un sous-système donné, les différents modes de défaillance — par exemple, pour une pièce mécanique, distinguer l'usure de la rupture en fatigue.
Exemple
thumb|Exemple d'étude de fiabilité (défaillance de locotracteurs) : tracé des fonctions de mortalité F, de survie R et du taux de défaillance λ
thumb|Courbe de mortalité et de survie (fiabilité) avec intervalles de confiance (risque α bilatéral de 10 %).
Une entreprise de chemins de fer qui suit l'instant de première panne d'un échantillon de 28 locotracteurs durant un an, date à laquelle a lieu leur première révision. Les durée de service avant la première panne sont donnés en jour et sont, par ordre croissant : {2, 5, 9, 13, 17, 22, 27, 39, 39, 39, 52, 64, 64, 76, 86, 97, 108, 121, 135, 151, 169, 191, 215, 245, 282, 332, > 365, > 365}. On a N = 28, on utilise donc la formule des rangs moyens.
On remarque que deux des locotracteurs n'ont pas subi de défaillance avant leur première révision ; c'est un cas de censure à droite. Ces deux cas ne permettent pas de « placer des points » sur la courbe, mais entrent néanmoins dans la statistique, puisqu'ils font partie de l'effectif total N. On utilise dans un premier temps la méthode des rangs.
+ Défaillance des locotracteurs. Méthode des rangs médians Nombre cumulé de défaillances i Instant de défaillance ti (j) Fréquence cumulée (mortalité)F Fiabilité (survie) R Taux de défaillanceλ (j−1) 1 2 2 5 3 9 4 13 5 17 6 22 7 27 10 39 11 52 …
+ Intervalles à 90 % de confiance bilatérale Nombre cumulé de défaillances i Instant de défaillance ti (j) Fi min Fi Fi max 1 2 2 5 3 9 4 13 5 17 6 22 7 27 10 39 11 52 …
thumb|Défaillance de locotracteurs : courbe de survie (fiabilité) R obtenue par la méthode de Kaplan-Meier.
On reprend l'exemple décrit supra avec la méthode de Kaplan-Meier.
Pour chaque date de défaillance ti, on détermine : le nombre Ni de systèmes encore en fonctionnement avant ti (ni défaillants, ni censurés) ; le nombre Di de systèmes défaillant durant la journée ti ; et l'on en déduit Pi la probabilité conditionnelle de défaillance durant la journée ti : Pi = Di/Ni et la fiabilité Ri à l'instant ti : . Les censures sont donc prises en compte par les Ni.