vignette|Somme des diviseurs des six premiers nombres hautement abondant (1,2,3,4,6,8), représentés avec des réglettes cuisenaire. En mathématiques, un nombre hautement abondant est un entier naturel dont la somme des diviseurs, lui-même inclus, est strictement supérieure à la somme des diviseurs de tout entier plus petit.

Ce concept, ainsi que d'autres catégories arithmétiques de nombres, a été introduit par le mathématicien indien Subbayya Sivasankaranarayana Pillai en 1943. et son travail fut poursuivi par Leonidas Alaoglu et Paul Erdős, en 1944.. Ces derniers ont notamment dressé la liste de tous les nombres hautement abondants jusqu'à 10, et montré que le nombre de nombres hautement abondants inférieurs à N était au moins proportionnel à ( N). Ils ont également démontré que est le plus grand nombre puissant hautement abondant et, par conséquent, le plus grand nombre hautement abondant ayant une somme des diviseurs impaire.

Définition formelle et exemples

Un entier naturel n est dit hautement abondant si pour tout entier naturel m < n, σ(n) > σ(m), où σ est la fonction somme des diviseurs.

Les premiers nombres hautement abondants sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60 ().

Par exemple, 5 n'est pas hautement abondant, car σ(5) = 5 + 1 = 6 < σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7. Inversement, 8 est hautement abondant, car σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15, ce qui est strictement supérieur à toutes les précédentes valeurs de σ.

Rapports avec d'autres catégories de nombres

Bien que les 8 premières factorielles soient des nombres hautement abondants, toutes les factorielles n'en sont pas. Par exemple, σ(9!) = σ() = . Or, il y un nombre inférieur à dont la somme des diviseurs est supérieure : σ() = . Donc 9! n'est pas un nombre hautement abondant.

Alaoglu et Erdős ont par ailleurs remarqué que tous les nombres superabondants étaient aussi hautement abondants. Ils se sont aussi demandé s'il existait, inversement, une infinité de nombres hautement abondants mais non superabondants. En 1969, , de l'université Claude-Bernard (Lyon 1), a démontré que cette conjecture est vraie..

Malgré leur terminologie, tous les nombres hautement abondants ne sont pas abondants. En particulier, aucun des 7 plus petits nombres hautement abondants n'est abondant.

Notes et références

Hautement abondant