vignette|Chiffres de Kaktovik : un système vicésimal. Le système vicésimal (ou vigésimal) est un système de numération utilisant la base vingt. Dans les langues du monde entier il est très souvent couplé au système quinaire.

Vingt correspond au nombre de doigts et d'orteils que possède l'être humain.. On peut distinguer le système vicésimal pur, ayant exclusivement pour principe la base vingt, et le système vicésimal partiel, résultant de la combinaison d'une base dix avec une base vingt.

Histoire Pour Georges Ifrah, la plus grande partie de l'Europe, une bonne fraction de l'Asie occidentale et presque partout en Amérique, les numérations orales vicésimales auraient une origine commune, celles de leur fond commun de peuplades préhistoriquesGeorges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, 1994, , ..

En Europe, certains pensent que ce système a une origine pré-indo-européenne, caucasienne, basque ; il existait peut-être en étrusque, Sur le problème du substrat méditerranéen dans les langues indoeuropéennes méridionales, 2000, , .. En effet, le basque, ainsi que l'albanais gardent des traces évidentes du système vigésimal qui est la règle dans les langues paléocaucasiennes, en sumérien et en élamiteNicolas_Lahovary, Les peuples européens, 1946, ..

Les peuples Indo-Européens venus s'installer en Europe, bien que disposant d'une numération originellement fondée sur la base dix, rencontrèrent sur place des populations indigènes usant de comptes fondés sur la . Ils en subirent une telle influence qu'ils adoptèrent le compte vicésimal, au moins pour les nombres les plus courants. Ce qui explique que le système vicésimal ait persisté partiellement, dans certaines langues européennes, à côté du système décimal.

Les traces de ce système se trouvent dans le danois, à côté du système décimal, dans les langues celtiques, en français, en portugais (Tras-os-Montes), en espagnol (Zamora), en italien du sud. En effet, le mot vingt et ses équivalents italien et espagnol ( et ) se sont formés de manière apparemment indépendante, puisqu'il aurait dû s'écrire decem-duo « dix-deux ». Enfin, ces traces se rencontrent en albanais (tosque) et en dialecte slovène d’Italie dans la vallée de Resia. Dans les langues anciennes d’Asie Mineure, des adjectifs numéraux au-dessus de 20 n’ont pas été attestés.

En anglais, aussi influencé par les Celtes, on trouve le système vicésimal employé avec le mot ancien « vingt » depuis longtemps : chez Shakespeare ( « un canon tirera douze vingt (240) à bout portant », dans Les Joyeuses Commères de Windsor) de même qu'au début du discours de Gettysburg d'Abraham Lincoln : « Il y a quatre-vingt-sept années… ».

vignette|Représentation des vingt chiffres mayas à l'aide de traits et points.

En Amérique, plusieurs numérations écrites vicésimales sont attestées en Mésoamérique : celle des Aztèques, additive, et celle des scribes mayas de l'époque classique, positionnelle, particulièrement utilisée pour noter les dates (dites du compte long) comptées en tun (année de compte valant ). Cette dernière se présente sous deux jeux de caractères : les chiffres de style « point et barre » ou les chiffres de style « céphalomorphe », chacun de ces deux jeux de caractères comporte un chiffre zéro (zéro de position).

En français

Sous l'influence des langues pré-indo-européennes, le français conserve des vestiges jusqu'à nos jours, dans les numéraux. Au Moyen Âge, on trouve ainsi les formes vingt et dix (30), deux vingt (40), deux vingt et dix (50), trois vingt (60)Auguste Brachet, Morceaux choisis des grands écrivains français du , 1879, . Une ancienne attestation, « vinz liverez et », dans les Lois de Guillaume le Conquérant, au , peut laisser penser à une origine normande, le système vicésimal se retrouvant aussi en danois. Les linguistes penchent cependant traditionnellement pour un héritage du gaulois, les langues celtiques modernes possédant ou ayant possédé une numération par vingt. Mais les dizaines supérieures à vingt sont en réalité inconnues en gaulois, à l'exception d'une forme, peut-être latinisée, pour « trente », or cette forme n'est pas vicésimale. L'hôpital des Quinze-Vingts, fondé à Paris en 1260, qui accueillait à l'origine trois cents lits pour loger trois cents vétérans aveugles, témoigne également de cet usage.

Dès la fin du Moyen Âge, il est progressivement supplanté par le système décimal - trente, quarante, cinquante, soixante. Mais pour les trois dernières dizaines précédant cent, cette évolution ne s'est pas partout diffusée de la même façon dans la francophonie au cours de l'époque moderne.

En Belgique, au Luxembourg et en Suisse romande, les mots septante et nonante sont aujourd'hui officiels, avec l'addition de huitante pour une partie de la Suisse romande ; alors que quatre-vingts est utilisé à Genève, dans le canton de Neuchâtel et dans le Jura.

Ces formes décimales sont également employées en République démocratique du Congo, au Rwanda et au Burundi, qui étaient colonisés et administrés par la Belgique jusqu'à leur indépendance.

En France, on retrouve encore au dans la langue des campagnes, les expressions numériques six vingtsMaximilien de Béthune (duc de Sully), Mémoires sur les sages et royales Œconomies d'Estat domestiques, 1638 : ., sept vingts, et on compte encore les arpents sous la forme sept à huit vingt ou sept vingt dix.. Au , l'Académie française et les auteurs de dictionnaires, sous l'influence de Vaugelas et de Ménage, préfèrent adopter les formes vicésimales soixante-dix, quatre-vingts et quatre-vingt-dix. Les trois formes décimales septante, octante et nonante sont cependant conservées dans toutes les éditions du Dictionnaire de l'Académie française ; et elles restent connues dans l'usage parlé de nombreuses régions de l'Est et du Midi de la France. En 1945, les Instructions officielles en conseillaient l'emploi pour faciliter l'apprentissage du calcul.

Les pays francophones issus de l'empire colonial français ont adopté les formes vicésimales de l'ancienne métropole ; à l'exception de l'Acadie, à l'extrême Sud de la Nouvelle-Écosse au Canada, où les formes décimales sont en usage.

Usages Aujourd'hui, on en trouve une utilisation plus ou moins prononcée dans plusieurs langues, en particulier en Europe. Mais le système décimal prédomine généralement, car peu de langues possèdent des termes pour 400,

Le système vicésimal est utilisé : en albanais ; en anglais, le mot signifie quatre-vingts ; en basque, par exemple 57 se dit soit (« deux vingt »), (« et ») et (« dix-sept »). ; traditionnellement dans les langues celtiques (breton, cornique, gaélique écossais., gallois, irlandais, mannois), en concurrence avec un système décimal ; en français de manière résiduelle, en Belgique, au Canada, en France et dans certains cantons romands de Suisse dans la lecture de 80, quatre-vingts, ou en France dans la dénomination de l'hôpital des Quinze-Vingts, qui abritait ; en géorgien, où la base vingt est utilisée en dessous de cent, avec les formes vingt et dix (30), deux vingt (40), deux vingt et dix (50), comme dans le français du Moyen Âge ; l'un des dialectes de la montagne géorgienne, le khevsour, parlé en Khevsourétie, utilise quant à lui la base vicésimale au-delà de cent, 120 s'y dit six vingt, 140 sept vingt, le système devenant décimal seulement à partir de mille ; en Grande-Bretagne, Yan Tan Tethera est une comptine traditionnelle des bergers utilisant un système de numérotation dérivé du celtique, sur la base du nombre vingt ; en danois, à partir du , où il est fait référence à la . 50 () est exprimé comme 3 (moins une moitié) × 20, 60 () est exprimé comme 3 × 20, ainsi de suite jusqu'à 90 ; en italien, dans les dialectes de l'Italie du Sud, surtout sicilien (20 = )Kristoffer Nyrop et Pierre Laurent, Grammaire historique de la langue française, 1930, , . ; en ingouche et en tchétchène ; en tzeltal ; en yoruba, qui recourt très largement au système vicésimal et utilise également 200 ( ou ) et ( ou ) comme références ; vingt se dit ogún ou , 50 est exprimé sous la forme 3 × 20 – 10 (), 150 sous la forme 8 × 20 – 10 (), sous la forme 15 × 200 () ; dans les langues eskimo-aléoutes d'Alaska et du Canada. Les Iñupiat d’Alaska ont inventé leur propre système de notation : les chiffres de Kaktovik.

Mathématiques En base 20, vingt chiffres (ou signes graphiques) sont utilisés, soit dix de plus que dans le système décimal usuel. Comme pour toute base de numération supérieure à 10, les symboles permettant de représenter les chiffres au-delà de neuf sont obtenus en utilisant les lettres de l'alphabet, en partant de A pour dix, et jusqu'à J pour dix-neuf. Une autre méthode de notation saute la lettre I (i majuscule correspondant à dix-huit) pour éviter toute confusion avec le chiffre 1. Ainsi le chiffre dix-huit s'écrit J et 19 s'écrit K. Il faut convenir à l'avance de la notation utilisée.

Le nombre est suivi de l'indice pour indiquer la base utilisée. En résumé : décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 duodécimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 vicésimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 autre méthode 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H J K 10

Comme dans tout système de numération, le nombre égal à la valeur de la base s'écrit 10, en l'occurrence ici vingt s'écrit 10.

Décomposition de la notation 20 = 34 = 40 (en effet, 2×20 = 40) 6F = B3 = 135 (en effet, 6×20 + 15 = 135) DA = 1A6 = 270 (en effet, 13×20 + 10 = 270) 100 = 294 = 400 (en effet, 1×20 = 400) 4J9 = 1199 = 1989 (en effet, 4×20 + 19×20 + 9 = 1989) 514 = 1208 = 2024 (en effet, 5×20 + 1×20 + 4 = 2024) 8CG = 2000 = 3456 (en effet, 8×20 + 12×20 + 16 = 3456) 1000 = 4768 = 8000 (en effet, 1×20 = 8000) 2340 = A000 = 17280 (en effet, 2×20 + 3×20 + 4×20 = 17280). 7FA8 = 30000 = 62208 (en effet, 7×20 + 15×20 + 10×20 + 8 = 62208). 10000 = 78714 = 160000 (en effet, 1×20 = 160000) 10EE8 = 80000 = 165888 (en effet, 1×20 + 0×20 + 14×20 + 14×20 + 8 = 165888). 1B21C = 100000 = 248832 (en effet, 1×20 + 11×20 + 2×20 + 1×20 + 12 = 248832).

+ Exemples d'opérations arithmétiques Décimal Vicésimal Duodécimal 270 + 45 = 315 DA + 25 = FF 1A6 + 39 = 223 1989 - 135 = 1854 4J9 - 6F = 4CE 1199 - B3 = 10A6 184 × 11 = 2024 94 × B = 514 134 × B = 1208 17280 ÷ 9 = 1920 2340 ÷ 9 = 4G0 A000 ÷ 9 = 1140

Exemple de calcul Hexadécimal 1/5 indivisible Hexadécimal : 100 ÷ 5 = 20 Vicésimal : CG ÷ 5 = 2B.4 Duodécimal 1/13 indivisible Duodécimal : 2000 ÷ 13 = 172.4972… Vicésimal : 8CG ÷ F = BA.8

Numéro de puissance Sénaire : 10 = 2×3 Décimal : 10 = 2×5 Duodécimal : 10 = 4×3 Vicésimal : 10 = 4×5

+ Puissance de vingt par la notation vicésimal Exposant Vicésimal Équivalent en duodécimal Équivalent en décimal Équivalent en sénaire 1 10 18 20 32 2 100 18 = 294 20 = 400 32 = 1 504 3 1 000 18 = 4 768 20 = 8 000 32 = 101 012 4 10 000 18 = 78 714 20 = 160 000 32 = 3 232 424 5 100 000 18 = 1 0A3 A28 20 = 3 200 000 32 = 152 330 452 6 1 000 000 18 = 19 525 054 20 = 64 000 000 32 = 10 203 424 144 7 10 000 000 18 = 2B8 804 8A8 20 = 1 280 000 000 32 = 331 002 501 532 8 100 000 000 18 = 4 B65 47A 994 20 = 25 600 000 000 32 = 15 432 132 502 304 9 1 000 000 000 18 = 83 28B 920 368 20 = 512 000 000 000 32 = 1 031 113 132 522 212 A 10 000 000 000 18 = 1 194 6B7 345 B14 20 = 10 240 000 000 000 32 = 33 440 105 133 555 224 B 100 000 000 000 18 = 1A B77 741 75A 628 20 = 204 800 000 000 000 32 = 2 003 323 453 211 540 052 C 1 000 000 000 000 18 = 323 488 2A8 596 454 20 = 4 096 000 000 000 000 32 = 104 155 244 231 222 522 544 -1 0.1 1/18 0.05 1/32 -2 0.01 1/294 0.0025 1/1504 -3 0.001 1/4768 0.000125 1/101012

Fractions et divisibilité