vignette|droite|Fig. 1 - Triangle d'or. Rapport a/b = nombre d'or φ. Angle au sommet : = 36°. Angles de base : 72° chacun.
Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or :
(voir 1ère figure).
Certains auteursPar exemple nomment également « triangles d'or » les triangles où ce rapport vaut (voir § "Tableau récapitulatif" pour les différentes appellations).
vignette|droite|Fig. 2 - Triangle d'or ABC découpé en un triangle d'or BXC et un gnomon d'or AXC.
Mesures concernant le triangle d'or
Angles Dans la figure, BXC est un triangle d'or puisque le rapport de la longueur du côté BC à la longueur du côté BX est le nombre d'or : L'angle BCX au sommet C a pour mesure :
Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait , les angles de base CBX et CXB valent chacun : (ou encore ).
Le triangle d'or est un triangle aigu puisque tous ses angles sont inférieurs à l'angle droit. Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°).
Hauteur La hauteur est donné par .
Aire L'aire est donnée par
Occurrences vignette|droite|Pentagramme régulier : chaque branche est un triangle d'or. Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure). Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or. Les pavages de Penrose font intervenir des triangles d'or.
Gnomon d'or Un gnomon d'or ou triangle d'argent ou, pour certains auteurs, triangle d'or obtus est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse du nombre d'or, soit :
Angles du gnomon d'or Dans la figure, les longueurs AX et CX valant et la longueur AC valant , AXC est un gnomon d'or.
L'angle AXC au sommet X a pour mesure :
(ou encore ).
Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait , les angles de base CAX et ACX valent chacun : (ou encore ).
Le gnomon d'or est un triangle obtus puisqu'il possède un angle obtus et deux angles aigus. Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°). vignette
Hauteur La hauteur est donné par .
Aire L'aire est donnée par
Construction en cure-dents ou à l'aide d'un pentagone articulé Si on dispose cinq cure-dents identiques de sorte que, comme dans la figure ci-contre, soient alignés ainsi que , l'angle en vaut et on obtient trois triangle d'or , , , et quatre triangles d'argent , , , . Cette construction peut aussi être obtenue par un pentagone articulé à barres de même longueur .
Tableau récapitulatif Définitions decet article Définitionsalternatives Angle au sommet Angles égaux de base Triangle d'orTriangle sublime Triangle d'or aigu 36° 72° Gnomon d'orTriangle d'argent Triangle d'or obtus 108° 36° Triangle d'or et gnomon d'or associés Découpages La figure ci-contre montre que : En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or. En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.
Pavages vignette|Deux gnomons d'or et un triangle d'or pavant un pentagone régulier. On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or (voir figure ci-contre). Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.
Spirale logarithmique vignette|droite|Triangles d'or inscrits dans une spirale logarithmique.
Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).
Notes et références
Voir aussi Crédits de traduction
Articles connexes Triangle de Kepler Triangle heptagonal Rectangle d'or Angle d'or Losange d'or Construction du pentagone régulier à la règle et au compas
Pavage de Penrose Pentagramme
Liens externes
Triangles de Robinson sur l'encyclopédie des pavages de l'Université de Bielefeld.
Or Catégorie:Polygone Catégorie:Nombre d'or Catégorie:Figure de géométrie