L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite à varier entre des valeurs extrémales. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de réels, oscillation d'une fonction à valeurs dans un espace métrique (comme ℝ), en un point ou sur une partie de son domaine de définition.

right|thumb|L'oscillation d'une suite (représentée en bleu) est la différence entre ses limites supérieure et inférieure. Définitions Oscillation d'une suite réelle L'oscillation d'une suite réelle est la différence entre ses limites supérieure et inférieure :

Elle est définie sauf si cette différence est de la forme ou , c'est-à-dire si la suite tend vers ou vers . Elle vaut lorsque la suite n'est pas bornée. Elle est nulle lorsque la suite converge.

Oscillation d'une fonction sur une partie Si est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble X, l'oscillation de sur une partie non vide de X est la différence entre les bornes supérieure et inférieure de sur :

Plus généralement, si est à valeurs dans un ensemble E muni d'une distance , est le diamètre de l'image de par :

Elle est toujours définie, et vaut lorsque la fonction n'est pas bornée sur .

Oscillation d'une fonction en un point Lorsque le domaine de est muni d'une topologie, on définit l'oscillation de en un point quelconque de comme la borne inférieure de ses oscillations quand parcourt le filtre des voisinages de , ou même seulement une base de :

Si de plus est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de en :

On peut toujours choisir pour l'ensemble des ouverts qui contiennent . Si l'espace topologique est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) de centre et de rayon et vérifier que

ce qui, si l'espace métrisable est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :

L'oscillation de en un point de son domaine est nulle si et seulement si est continue en , Theorem 3.5.2..

De plus, toutes les égalités ci-dessus s'étendent au cas où n'est définie que sur une partie de à laquelle est seulement adhérent, en remplaçant le filtre des voisinages de par celui, , de leurs intersections avec . L'oscillation de en est nulle si et seulement si le filtre image, , est de Cauchy. Lorsque l'espace métrique d'arrivée est complet, cela équivaut, à nouveau, à l'existence d'une limite en pour .

Lorsque est métrisable et complet, si est continue sur le sous-espace , elle s'étend continûment au G des points adhérents à en lesquels l'oscillation de est nulle..

La notion d'oscillation en un point adhérent généralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans ℝ à toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret , en considérant , adhérent à ℕ dans son compactifié d'Alexandrov

Exemples Les seules suites périodiques d'oscillation nulle sont les suites constantes. L'oscillation de la suite a = (–1) vaut 2. L'oscillation de la fonction x ↦ 1/x est infinie en 0 et nulle en tout autre élément de . Celle de la fonction sinus vaut 2 en , et 0 ailleurs. Celle de x ↦ sin(1/x) vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.

Discontinuités L'application a ↦ permet de quantifier les discontinuités de et de les classer.

Elle est en outre semi-continue supérieurement, donc l'ensemble des points de discontinuité de est un F, comme réunion des fermés = {a ∈ X | ≥ 1/n}. Par passage au complémentaire, l'ensemble des points de continuité de est un Gδ, intersection dénombrable des ouverts {a ∈ X | < 1/n}.

Cela fournit aussi une preuve très rapide de l'une des deux directions du critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann, § 3.5 : « »., à savoir : si n'est pas Lebesgue-négligeable, alors n'est pas Riemann-intégrable, puisque .

Notes et références

Articles connexes Continuité de Cauchy Fonction à variation bornée Module de continuité Fonction à oscillation moyenne bornée Série de Grandi Théorème de Froda

Catégorie:Analyse réelle