thumb|Le périmètre du carré vaut ici 8.|alt=Schéma d'un carré avec une longueur de deux. thumb|Selon Homère, le périmètre de Troie était de (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy), . (photo des remparts supposés de Troie).|alt=Photo des remparts supposés de Troie.
Le périmètre d'une figure plane est la longueur développée du contour de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage nécessaire à la clôture d'un terrain.
Pour tout polygone, le périmètre est égal à la somme des longueurs des côtés. Il existe des formules simples pour le calcul du périmètre des figures de base, mais le problème devient beaucoup plus ardu pour des figures plus complexes : il fait appel à des calculs d'intégrales ou de limites. Dans ce cas, une méthode consiste à approcher la figure complexe par d'autres, plus simples et mieux connues, pour obtenir une approximation du périmètre voulu.
La question de savoir, pour un périmètre donné, quelle est la surface dont l'aire est maximale (ou isopérimétrie) a été posée très tôt et sa réponse seulement établie au .
En dehors du contexte mathématique, le mot périmètre est parfois utilisé pour désigner la ligne qui délimite une figure.. Il est toutefois préférable de nommer cette ligne la circonférence pour une figure de forme approximativement circulaire, ou le contour pour toute autre figure.
Dans une acception courante, le mot périmètre est aussi utilisé pour désigner la zone qui s'étend autour d'un lieu déterminé (périmètre de protection).
Le mot périmètre (du grec ancien : ) est composé du préfixe péri- qui signifie « autour » et du suffixe -mètre : « mesure »Trésor de la langue française informatisé, article périmètre..
Figures de base Polygones thumb|Un rectangle de largeur a et de longueur b.|alt=Schéma d'un rectangle de largeur a et de longueur b. Le cas des polygones est fondamental, non seulement par sa simplicité, mais aussi parce que de nombreux périmètres sont calculés, en valeur approchée, par une suite de polygones tendant vers ces courbes. Le premier mathématicien connu pour avoir utilisé ce raisonnement fut Archimède qui approcha le périmètre d'un cercle en l'encadrant par celui de polygones réguliersLa méthode est décrite dans le paragraphe Périmètre d'un cercle ou le site : S. Mehl Longueur du cercle selon Archimède ChronoMath..
Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.
En particulier, un rectangle de dimensions a et b a pour périmètre . Un polygone équilatéral est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur (un losange est un polygone équilatéral à quatre côtés). Pour calculer le périmètre d'un polygone équilatéral, il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de côtés.
Un polygone régulier est souvent défini par son nombre de côtés et son rayon, c'est-à-dire la distance constante qui sépare son centre de chacun des sommets. Il est possible de calculer la longueur du côté par un raisonnement de trigonométrie. Si R est le rayon d'un polygone régulier et n le nombre de ses côtés, son périmètre est pour la formule et une démonstration. : .
Ces méthodes sont résumées dans le tableau ci-dessous. + Périmètre de polygones Polygone Formule Variables Triangle a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle. Parallélogramme a et b sont les longueurs de deux côtés consécutifs. Polygone équilatéral n est le nombre de côtés et a la longueur de chaque côté. Polygone quelconque où est la longueur du (, , … n) côté d'un polygone à n côtés. Polygone régulier convexe n est le nombre de côtés et R la distance entre le centre du polygone régulier et chacun des sommets.
Périmètre d'un cercle right|300px|thumb|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.|alt=Animation de l'acte de déroulement de la circonférence d'un cercle.
Le périmètre d'un cercle est la longueur développée de son contour. Il est proportionnel à son diamètre, .. C'est-à-dire qu'il existe une constante (le p grec de périmètre) telle que, quel que soit un cercle de diamètre D et de périmètre P, P = D.
L'usage du compas ayant favorisé l'utilisation du rayon R du cercle plutôt que de son diamètre, cette formule devient : P = 2 R.
Ces deux formules sont parfaitement équivalentes puisque, pour tout cercle, .
Il suffit, pour calculer le périmètre d'un cercle, de connaître son rayon ou son diamètre et le nombre . Le problème est que ce nombre n'est pas rationnel (on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers) ni même algébrique (il n'est pas la racine d'un polynôme à coefficients entiers). Obtenir une valeur approchée de aussi précise qu'on le souhaite n'est donc pas évident. La recherche des décimales de mobilise des connaissances en analyse, algorithmique et informatique.
Le périmètre d'un cercle est souvent appelé par extension circonférence même si la circonférence désigne une courbe et non une mesure de longueur. L'usage du terme longueur du cercle est ambigu et doit être évité car cette notion peut tout aussi bien recouvrir la distance entre deux points opposés (le diamètre) que la longueur développée du contour du cercle (le périmètre).
Perception du périmètre thumb|left|upright=0.6|Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.|alt=Animation d'un découpage d'un hexagone en flocon de neige. thumb|La citadelle de Neuf-Brisach a un périmètre compliqué. Pour en faire le tour, mieux vaut suivre son enveloppe convexe.|alt=Plan simplifié de la citadelle de Neuf-Brisach.
Le périmètre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques. Il est fréquent de confondre ces deux notionsAire et périmètre, dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais. ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1:, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par et l'aire en multipliant celle de la représentation par . Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle possédant une aire égale à un mètre carré peut avoir comme dimensions, en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à ) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de ). Proclus () rapporte que des paysans grecs se sont partagé « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes.. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre.
Lorsqu'on ôte une partie d'une figure, son aire diminue (on a aussi une aire). Mais il n'en est pas toujours de même du périmètre. Dans le cas de figure très , à la confusion aire/périmètre s'ajoute celle avec l'enveloppe convexe de la figure plutôt que son tour au sens strict, .. L'enveloppe convexe d'une figure est semblable à un élastique qui entourerait cette figure. Sur l'animation ci-contre à gauche, toutes les figures ont la même enveloppe convexe : le grand hexagone initial.
Isopérimétrie
L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque, .. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.
Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.
L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.
Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :
Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.
Si l'origine de cette question date d'au moins ., ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique.. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.
Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.
Courbe rectifiable Mis à part les cas des polygones et des cercles, le périmètre de la plupart des surfaces est malaisé à calculer : il fait intervenir une intégrale qui ne s'exprime pas souvent au moyen de fonctions élémentaires (polynômes, sinus).
Un exemple : l'ellipse
L'ellipse peut paraître simple : il ne s'agit après tout que d'un « cercle écrasé ».
Soit une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b.
L'aire est aisée à calculerG. Tulloue, Aire d'une ellipse, par l'université de Nantes. : .
Mais le périmètre P de l'ellipse ne peut être obtenu qu'à l'aide d'une intégrale elliptique. :
qui s'exprime sous forme de série, en notant e l'excentricité de l'ellipse (formule de J.H. Lambert (1772)) : où
La difficulté de ces calculs a conduit à développer des approximations. La deuxième proposée, plus précise, est l'œuvre de Ramanujan :
Courbe rectifiable
Le problème du calcul d'un périmètre est plus ardu si la frontière est courbe et non plus polygonale.
Il est toujours possible d'approcher la longueur d'une courbe par celle d'un polygone d'approximation. La longueur du polygone d'approximation est la somme des longueurs de ses côtés. Lorsque le pas, c'est-à-dire la longueur maximale entre deux sommets consécutifs du polygone, tend vers zéro, la limite supérieure de la longueur du polygone tend vers la longueur de la courbe. Si la longueur de la courbe est finie, celle-ci est dite rectifiable. Ce raisonnement permet de calculer des valeurs approchées de nombreuses courbes.
Une valeur exacte est possible lorsque la courbe est paramétrée par une fonction continûment dérivable. Alors la courbe est rectifiable. Si la courbe est un arc paramétré par une fonction f définie sur un intervalle [c;d], alors sa longueur est :
En particulier, si f(t) (x(t) ; y(t)) et si les coordonnées s'expriment dans une base orthonormale, la longueur L de la courbe est donnée par :
Cette formule permet d'établir celle donnée plus haut, pour le périmètre de l'ellipse .
Il est également possible d'utiliser les coordonnées polaires (θ, r(θ)) où r est une fonction continûment dérivable de θ définie sur un intervalle [θ1;θ2]. Dans ce cas :
Courbes fractales
Un exemple : Le flocon de von Koch
Le flocon de Koch est construit par une suite de polygones à la fois très simple et aux propriétés étonnantes.
On part d'un triangle équilatéral.