vignette|Tracé des 10 000 premières périodes de Pisano. En théorie des nombres, la -ième période de Pisano, notée , est la longueur de la période à partir de laquelle la suite de Fibonacci, modulo se répète.
Les périodes de Pisano sont nommées d'après Leonardo Pisano, mieux connu sous le nom de Fibonacci. L'existence de fonctions périodiques dans la suite de Fibonacci a été notée par Joseph Louis Lagrange en 1774.
Définition
La suite de Fibonacci est la suite d'entiers : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, ... définie par la relation de récurrence
Pour tout entier n, la suite formée des termes de la suite de Fibonacci Fi modulo n est périodique. La période de Pisano, notée (n), est la longueur de cette période. Par exemple, la suite de Fibonacci modulo 3 donne :
Ainsi, .
Propriétés
À l'exception de (2) = 3, la période de Pisano (2) est toujours paire.
On peut le montrer en observant que (n) est égal à l'ordre de la matrice de Fibonacci
dans le groupe général linéaire de matrices inversibles sur l'anneau fini des entiers modulo n. Puisque Q est de déterminant −1, le déterminant de Q(n) vaut (−1)(n), qui vaut 1 si ou si (n) est pair..
On peut montrer, en utilisant le théorème chinois que, si sont premiers entre eux, alors , on se ramène ainsi à connaître les pour premier et entier non nul. En outre divise . Il n'est, par contre, pas connu s'il y a égalité entre ces deux quantités pour tous les .
Références
Liens externes
Catégorie:Théorie des nombres Catégorie:Suite de Fibonacci