En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé.
Méthode Pour calculer une intégrale , la méthode de changement de variable consiste à poser de telle sorte que le théorème suivant conduise à une nouvelle intégrale plus facile à calculer ( et ).
Théorème Soient : un intervalle réel ; une fonction dérivable, de dérivée intégrable ; une fonction continue. Alors, . On peut remarquer qu'il n'est pas nécessaire que soit injective sur .
Démonstration Lorsque est de classe , cette règle d'intégration se déduit du théorème fondamental de l'analyse et du théorème de dérivation des fonctions composées : voir par exemple le lien en bas de cette page vers le cours sur Wikiversité.
Soient : un intervalle réel ; une fonction dérivable de classe , de dérivée intégrable ; une fonction continue. On note une primitive de sur , comme est continue, est de classe donc est de classe sur , on a :
ou en fonction de :
On pose et
On a :
et ainsi : ou :
Remarque On utilise le théorème pour écrire l'intégrale de sur dans le cas où est une fonction monotone.
Si est croissante, alors et est égal à l'intervalle ; l'intégrale de sur est alors immédiatement donnée par le théorème. On peut remarquer aussi que dans ce cas, . Si est décroissante, alors et devient . L'intégrale de sur est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme , changer le signe revient dans ce cas à remplacer (dans l'intégrale du membre de gauche du théorème) par sa valeur absolue.
On voit ainsi que dans les deux cas on a :
.
C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples .
Exemple Soit à calculer . On choisit le changement de variable , et donc avec variant de à (on remarquera que n'est pas injective sur cet intervalle)
, , et est bien continue sur . Par conséquent : . Le fait que ne soit pas injective peut amener à des résultats à première vue surprenants : si , on aura ; c'est la raison pour laquelle on préfère souvent prendre bijective, et écrire la formule « dans l'autre sens » : .
Changements de variables classiques En pratique, la forme donnée dans l'énoncé du théorème est rarement directement lisible sur l'intégrale à calculer, et partant d'une intégrale telle que , on essaie plutôt de faire disparaitre les termes les plus « compliqués » (les exponentielles, dans ce cas) en posant , avec bien choisi (et le plus souvent bijective), donc ici ; on obtient , que l'on intègre ensuite par décomposition en éléments simples, obtenant .
Cependant, beaucoup d'intégrales ne peuvent se calculer qu'à l'aide de changements de variables plus sophistiqués ; en voici une liste non exhaustive. Homothéties La bijection , pour donne .
Règle de Bioche Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, on peut utiliser les règles de Bioche.
Substitution trigonométrique Dans le cas des intégrales de fonctions radicales, un changement de variables trigonométrique (circulaire ou hyperbolique) peut permettre d'exploiter les identités trigonométriques pour simplifier les calculs: si la fonction a un terme en , le changement de variables permet d'utiliser si la fonction a un terme en , le changement de variables permet d'utiliser , mais aussi permet d'utiliser si la fonction a un terme en , le changement de variables permet d'utiliser
Substitution d'Euler Pour calculer où est une fraction rationnelle en deux variables, un entier naturel et , , et quatre réels donnés, on pose :le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer. Pour calculer
où est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable , qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en (le cas peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon ). Note : les substitutions d'Euler sont citées dans la plupart des livres d'algèbre russes..
Substitution de Weierstrass thumb|La substitution de Weierstrass relie un angle à la pente d'une droite. thumb|La substitution de Weierstrass comme projection stéréographique d'un cercle. La substitution de Weierstrass, aussi appelée substitution de la demi-tangente ou substitution du demi-angle, repose sur la formule du demi-angle, qui transforme une fraction rationnelle de fonctions trigonométriques en en fonctions rationnelles classiques en , par le changement de variables :
On peut l'adapter aux fractions rationnelles de fonctions hyperboliques en en fonctions rationnelles classiques en , par le changement de variables
Géométriquement, ces changements de variables se traduisent par la projection vers une droite du cercle trigonométrique (pour les fonctions trigonométriques) ou le disque de Poincaré en dimension 1 (pour les fonctions hyperboliques) p. 73.
La méthode porte le nom de Karl Weierstrass, car en 1966, puis en 1987, avant d'être repris par d'autres articles. Cependant, ni Eberlein ni Stewart ne donnent d'éléments pour justifier cette paternité. Toutefois, une substitution semblable apparait dans une lecture de Weierstrass datant de 1875, dans laquelle il crédite Carl Gauss (1818) pour le calcul d'intégrales de la forme par le changement de variables .
Auparavant, Leonard Euler a utilisé ce changement de variables pour le calcul de l'intégrale 342, Traduction en anglais par Ian Bruce. Voir aussi p. 245–246. .
Michael Spivak parle de ce changement de variables comme la "substitution la plus fourbe".
Cas des intégrales impropres Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle réel borné à un intervalle non borné (par exemple, l'intégrale devient, par le changement de variable , ).
La démonstration de ce résultat se fait simplement en appliquant la définition des intégrales impropres comme limites, donc en passant à la limite dans un changement de variable entre intégrales propres.
Cas des intégrales multiples
Lorsque est une fonction de plusieurs variables, on remplace par une injection de classe C sur un ouvert de et à valeurs dans . Outre le changement du domaine d'intégration, on utilise la valeur absolue du jacobien de « à la place » de . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne . On donne ici la formulation explicite du changement de variable dans le cas particulier n = 2 : . Pour plus de précision, se reporter aux deux articles détaillés.
Références
Bibliographie
Voir aussi
Liens externes Autre exemple bien détaillé d'intégration par changement de variable
Changement de variable
es:Métodos de integración#Método de integración por sustitución