La variation de la pression atmosphérique avec l'altitude décrit le gradient de pression de l'air dans l'atmosphère terrestre selon la distance avec le niveau de la mer. C'est le changement de la pression selon l'altitude observé à l'air libre au-dessus du sol terrestre ou d'une mer ou d'un océan. L'atmosphère terrestre n'est jamais en complet équilibre notamment à cause du réchauffement solaire du sol. Toutefois, on peut définir une atmosphère normalisée, supposément en équilibre et où la pression atmosphérique diminue avec l'altitude suivant une loi de puissance 5,25. La pression est réduite d'un facteur 2 à l'altitude et d'un facteur 10 à .
En météorologie appliquée, la pression est souvent utilisée directement comme coordonnée verticale. On parlera par exemple de la température à . Cette approche a des avantages techniques et elle simplifie certaines équations utilisées en météorologie. Il est aussi possible d'utiliser la pression pour mesurer la hauteur, ce qui est le principe de base de l'altimètre utilisé en aéronautique. Elle a aussi un rapport dans les vents de surface horizontaux et les vents d'altitude horizontaux.
Pression en fonction de la température et de l'altitude
Dans la boîte déroulante, il est démontré que la formule quasi exacte de la variation de la pression en fonction de l'altitude dans la troposphère est :
est la pression, en Pascal, est la pression au sol, est l'accélération de la pesanteur, est la hauteur par rapport au sol, en mètres, est la capacité thermique massique de l'air à pression constante, est la température au sol, en kelvin. = est la masse molaire de l'air = est la constante universelle des gaz parfaits
Cette formule confirme l'adage américain . En effet, l'exponentielle décroît plus rapidement lorsque devient plus petit et donc l'altimètre surestimera la hauteur, ce qui en aviation peut provoquer un accident si le pilote ne consulte que l'altimètre.
Ainsi, pour l'altitude à , on obtient l'équation suivante :
Donc,
Et donc, mètres.
Cette valeur est proche de l'atmosphère normalisée où .
Stabilité et instabilité En règle générale, la pression atmosphérique diminue de moitié à environ mètres et la température moyenne de l'atmosphère diminue de par mètres. Cependant ce taux n'est valable que pour une atmosphère normalisée et varie en fait selon le contenu en vapeur d'eau et l'altitude. Ces propriétés peuvent être démontrées rigoureusement si l'on fait l'hypothèse que l'atmosphère est en équilibre (ce qui n'est pas vrai en pratique).
Lorsque le sol est chauffé par le soleil, par convection, les basses couches de l'atmosphère sont réchauffées et comme l'air chaud est moins dense, l'air réchauffé va avoir tendance à s'élever grâce à la poussée d'Archimède. Si la poche d'air chaud se refroidit moins vite que l'air environnant, cette parcelle d'air va accélérer vers le haut. On est alors en présence d'une masse d'air instable. Dans le cas contraire, l'air en ascension devient plus froid que l'air environnant, le mouvement ascendant va s'interrompre et l'atmosphère est alors stable.
Le taux de refroidissement de la masse d'air en ascension peut être calculé théoriquement, ou sur un diagramme thermodynamique, par rapport à la température de l'environnement donnée par un radiosondage. Ce calcul repose sur l'hypothèse qu'il n'y a pas d'échange calorique avec l'air extérieur et que le taux de changement de température est différent si l'air est saturé ou pas. Dans le premier cas, la vapeur d'eau condensée est retirée de la masse en ascension.
Utilisation des principes de la thermodynamique
On écrit les relations de la thermodynamique et on cherche à ne retenir que les termes propres aux caractéristiques de l'air et à l'altitude z.
Le travail mécanique δ W pour faire varier le volume est le produit de la variation de volume dV par la pression exercée pour ce changement de volume.
Le changement en enthalpie () est donné par :
Donc pour avoir un processus qui est à la fois réversible et adiabatique, il faut que et . Ces processus sont donc isentropiques pour un gaz idéal ce qui mène à :
On considère maintenant l'énergie u par unité de masse et l'enthalpie h par unité de masse.
On a donc:
où m est la masse de la parcelle d'air.
Pour la transformation de tout gaz de ce type, ceci est vrai :
où et sont respectivement les capacités thermiques à volume constant et pression constante et T est la température. L'unité de Cp et Cv est le J/(kg⋅K). En outre
En dérivant selon et :
.
On divise ces équations par m et l'on obtient donc :
.
On note que ρ = m / V et donc V = m / ρ. Donc :
On substitue et donc :
.
Gradient adiabatique sec On suppose que le sol réchauffe l'atmosphère et qu'aucun nuage n'est présent dans le ciel et donc qu'il n'y a aucune condensation de vapeur d'eau. On introduit maintenant l'équation d'équilibre hydrostatique entre le niveau z et z + d z (l'axe des z est orienté vers les altitudes élevées). Soit g = 9,81 m/s² l'accélération de la pesanteur. Par unité de surface, la masse de la couche d'air est et donc son poids est
La poussée d'Archimède s'exerçant sur le volume de gaz par unité de surface vaut . L'équation d'équilibre hydrostatique s'écrit donc On rappelle que :
On substitue maintenant dp et l'on obtient:
Et donc:
On a , g = ² et donc,
On retrouve une valeur très proche du gradient adiabatique sec qui est approximativement de /km.
Variation de la pression lorsque la température décroît de manière uniforme
Le niveau de pression à 500 hPa se situe à l'altitude de environ. Nous allons démontrer mathématiquement ce résultat. On suppose que le profil de température suit le gradient adiabatique sec.
L'équation d'état des gaz parfaits s'écrit :
où n est le nombre de moles et R est la constante des gaz parfaits.
On différencie cette équation et l'on a donc :
On obtient donc :
et donc :
On divise par le volume, on tient compte de et on obtient alors l'équation d'état des gaz parfaits sous la forme suivante qui est plus appropriée en météorologie :
Pour un gaz idéal diatomique (relation de Mayer), il est possible de faire le rapport suivant :
Donc, on obtient l'équation d'état suivante :
On suppose maintenant que la colonne d'air se refroidit de manière uniforme avec :
On a donc :
On a donc :
Donc,
Finalement : (nécessite des explications car ne découle pas de la dérivation des équations précédentes !)
Et donc :
Et donc :
On pose :
Donc,
Et donc,
Donc,
Et donc,
On calcule la primitive et donc :
Donc,
Donc:
À ζ = 0, on a
Donc,
Et donc,
Donc,
La formulation exacte est la suivante :
On obtient donc :
Donc,
On va montrer que la déviation par rapport à l'exponentielle pure est négligeable dans la troposphère.
On note que et donc on peut effectuer un développement limité :
Donc,
Finalement au second ordre, on obtient :
On rappelle que :
Donc,
Donc,
Dans ce qui suit pour l'atmosphère standard, on va prouver que :
Application de la formule pour l'atmosphère standard On veut exprimer numériquement la formule supra.
On suppose que , Cp=1006, g= 9.80665,
On obtient donc :
Donc,
Cette formule est très proche de la formule officielle.
Variation de la pression lorsque la température suit le gradient adiabatique sec
Dans ce cas particulier, on a
Donc,
On obtient alors simplement :
On va montrer que la déviation par rapport à l'exponentielle pure est négligeable dans la troposphère. En effet, on considère z = 10⁴ avec une température au sol de 300 K. On a alors :
La seconde exponentielle vaut :
À la tropopause, la différence serait donc de 20 %. On remarquera qu'en plus il serait irréaliste de considérer que l'air se refroisse suivant le gradient adiabatique jusqu'à la tropopause. Au mieux, la décroissance adiabatique de la température, ne se produit que jusqu'à 5 km d'altitude en Namibie ou en Arizona, et dans ce cas, l'on a :
On obtient alors :
Soit une déviation de 5 % seulement.
Erreur altimétrique en cas d'air froid
On considère un temps froid avec une couche de stabilité neutre. On considère z = 2000 et T₀ = 268.15 On a :
Donc, au premier ordre, la décroissance est proportionnelle à z. L'erreur sur le taux de décroissance est donc de :
On constate qu'au premier ordre l'altitude sera surestimée de 7 %. Donc, plus l'on sera haut plus l'altimètre surestimera l'altitude. Cela confirme l'adage « Hot to cold, look below ».
Variation de la pression dans l'atmosphère standard Dans l'atmosphère standard, on a . On considère la température au sol de 300 K.
On considère à nouveau la tropopause située à 10 km. On a :
La seconde exponentielle vaut :
Ceci ne fait qu'une erreur de 3 %.
L'erreur à 5 km ne serait que de moins de 1 %.
Établissement à partir de la physique statistique Considérons un système de particules à l'équilibre thermique à la température T (qui a donc la même température en tout point) dont les particules peuvent occuper des niveaux d'énergie Ej répartis discrètement ou continûment. La probabilité qu'une particule occupe le niveau d'énergie Ej est donnée par la distribution de Boltzmann : .
kB est la constante de Boltzmann et Z un facteur de normalisation (la fonction de partition) qui assure que la somme sur toutes les probabilités est égale à 1. Pour un système constitué de N particules, le nombre de particules dans l'état Ej est nj = N Pj.
Une particule de gaz de masse m a dans le champ de pesanteur une énergie potentielle Epot=mgz et, à cause de sa température dans le milieu, une énergie thermique Eth; donc au total, une énergie E(z)=mgz+Eth. Si l'on considère deux volumes élémentaires de même taille à des altitudes z0 et z1, les particules à l'altitude z1 ont une énergie supérieure de mgΔh. Le rapport des probabilités de présence d'une particule dans le volume à z1 et dans le volume à z0 vaut donc : .
Pour un nombre de particules N suffisamment grand, la densité de particules n(z) se comporte comme les probabilités de présence : , et d'après la loi des gaz parfaits , la pression obéit à la même relation : , (dans l'équation précédente, on passe de la masse et de la constante de Boltzmann à la masse molaire et à la constante des gaz parfaits en multipliant ces grandeurs par le nombre d'Avogadro NA.
Du point de vue énergétique, on a supposé ici les hypothèses du théorème d'équipartition vérifiées. Mais cette hypothèse n'est en général vérifiée que pour une atmosphère dense, seul cas où les énergies entre les différents degrés de liberté peuvent être échangés par chocs entre les molécules de gaz.
(Justification : Le théorème d'équipartition n'est en général valable que pour les hautes énergies car il ne peut être utilisé directement que sur des potentiels de forme quadratiques dans la fonction de Hamilton. Comme l'énergie potentielle d'altitude n'est que linéaire dans la fonction de Hamilton, on ne peut en général pas supposer le théorème d'équipartition valide pour les gaz très dilués.)
Correction liée à la présence de vapeur d'eau
Dans la section précédente, on a supposé que l'air est sec et donc qu'il n'y a aucune condensation. Toutefois, les nuages sont très présents dans l'atmosphère et sont constitués de gouttelettes d'eau ou de cristaux de glace. En effet, lorsqu’une parcelle d'air s'élève, celle-ci se refroidit selon l'adiabatique sèche (/km) jusqu'à ce qu'elle soit saturée en vapeur d'eau. Dès lors, la vapeur d'eau se condense et libère de la chaleur latente ce qui a pour résultat que la parcelle d'air se refroidit moins vite. Le taux de refroidissement d'une parcelle d'air saturé est de l'ordre de /km. Cette valeur est appelée gradient adiabatique humide. L'atmosphère standard est au niveau de la mer T = 287 K, p = 1013.15 hPa. On considère que l'atmosphère en équilibre a un gradient égal à l’adiabatique humide. La tropopause se situe à aux latitudes tempérées ce qui correspond à une température de °C. La température couramment admise à la tropopause est .