La méthode canonique de calcul de la date de Pâques grégorienne est très complexe. Dès le , les mathématiciens recherchèrent des méthodes plus simples. La méthode de Carl Friedrich Gauss présente un grand intérêt historique car c'est la première tentative d'élaboration d'une méthode algorithmique de calcul de la date de Pâques. L'ambition de Gauss était de créer un algorithme unique qui serait universellement valable pour les Pâques juliennes et pour les Pâques grégoriennes. En 1800Voir l'original du texte de Gauss en allemand., il publie la première méthode de calcul de la date de Pâques essentiellement fondée sur des opérations arithmétiques élémentaires. Toutefois, sa méthode tient mal compte des sauts d'épacte pour la métemptose et la proemptose. À la suite de diverses corrections proposées par ses correspondants mathématiciens et ses élèves, il publie une version presque exacte en 1816Voir : la version révisée de 1816 en allemand.. La version publiée ci-dessous, après diverses corrections est valide pour toutes les années en calendrier julien et en calendrier grégorien. On pourra noter que le calcul pour les dates de Pâques juliennes est très voisin de l'algorithme de Delambre.

Gauss, prudent, et qui ne disposait pas de nos moyens actuels de calcul, limitait la validité de sa méthode à la période 1700-4099. Toutefois, des vérifications systématiques effectuées à l'aide de l'algorithme de Meeus montrent que cet algorithme est universellement valide pour toute date à partir de 326 pour les Pâques juliennes et pour toute date à partir de 1583 pour les Pâques grégoriennes.

Présentation de l'algorithme de Gauss

L'algorithme de Gauss est commun au calcul des dates de Pâques juliennes et grégoriennes. La méthode de calcul de Pâques julienne présente cependant quelques simplifications par rapport au calcul de Pâques grégorienne. On présente ci-dessous : l'algorithme détaillé de calcul de Pâques grégorienne ; l'indication des simplifications à apporter pour le calcul de Pâques julienne ; l'algorithme détaillé de calcul de Pâques julienne.

Calcul de la date de Pâques grégorienne

Calcul de la date de Pâques grégorienne en calendrier grégorien

Pour Année ≥ 1583 :

+ Date de Pâques grégorienne (algorithme de Gauss) Dividende Diviseur Quotient Reste Année 19 a Année 4 b Année 7 c Année 100 k 13 + 8 k 25 p k 4 q 15 - p + k - q 30 M 4 + k - q 7 N 19 a + M 30 d 2 b + 4 c + 6 d + N 7 e

Les Pâques grégoriennes en calendrier grégorien sont le : H = (22 + d + e) mars ou le Q = (H - 31) = (d + e − 9) avril ; Si d = 29 et e = 6, remplacer le par le ; Si d = 28, e = 6 et RESTE (11 M + 11) / 30) < 19, remplacer le par le .

Remarquer que H et Q fournissent la même date, la première en jours de mars et la seconde en jours d'avril. Par exemple pour 2006, on obtient et Q = , ce qui correspond à la même date si l'on considère que la première est en jours de mars (47 − 31 = ).

Exemple Exemple pour l'année 2006

+ Pâques grégoriennes en 2006 (algorithme de Gauss) Dividende ValeurDividende Diviseur ValeurDiviseur Quotient ValeurQuotient Reste ValeurReste Expression ValeurExpression Année 2006 19 19 a11 Année 2006 4 4 b2 Année 2006 7 7 c4 Année 2006 100 100k 20 8 k + 13 173 25 25p 6 k 20 4 4q 5 15 - p + k - q24 3030 M24 4 + k - q 19 77 N5 19 a + M 233 3030 d23 2 b + 4 c + 6 d + N 163 77 e2 H = 22 + d + e47 Q = d + e - 916

Les conditions 3. et 4. ne s'appliquent pas. H est le quantième de Pâques en jours de mars (47 -31) = 16. Q est le quantième de Pâques en jours d'avril. Pâques est le .

Calcul de la date de Pâques julienne

Simplifications pour le calcul de la date de Pâques julienne poser M = 15 et N = 6 ; dès lors, le calcul de k, p et q est inutile ; les conditions 3. et 4. sont sans objet.

Calcul de la date de Pâques julienne en calendrier julien

Pour Année ≥ 325:

+ Date de Pâques julienne (algorithme de Gauss) Dividende Diviseur Quotient Reste Expression Année 19 a Année 4 b Année 7 c M = 15 N = 6 19 a + M 30 d 2 b + 4 c + 6 d + N 7 e

La date de Pâques julienne en calendrier julien est le : H = (22 + d + e) mars ou le Q = (d + e − 9) avril ;

Remarquer que H et Q fournissent la même date, la première en jours de mars et la seconde en jours d'avril. Par exemple pour 1492, on obtient H = et Q = , ce qui correspond à la même date si l'on considère que la première est en jours de mars (53 - 31 = ).

Exemple Exemple pour l'année 1492

+ Pâques juliennes en 1492 (algorithme de Gauss) Dividende ValeurDividende Diviseur ValeurDiviseur Quotient ValeurQuotient Reste ValeurReste Expression ValeurExpression Année 1492 19 19 a10 Année 1492 4 4 b0 Année 1492 7 7 c1 M = 15 N = 6 19 a + M 205 3030 d25 2 b + 4 c + 6 d + N 160 77 e6 H = 22 + d + e53 Q = d + e - 922

H est le quantième de Pâques en jours de mars [ = (53 -31) avril = ]. Q est le quantième de Pâques en jours d'avril = . Pâques est le .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes Calcul de la date de Pâques Calcul canonique de la date de Pâques julienne Calcul canonique de la date de Pâques grégorienne Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Meeus Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Conway

Liens externes

Calcul de la date de Pâques sur Wikifunctions Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Gauss

Catégorie:Calcul de la date d'un événement Catégorie:Élaboration du calendrier chrétien Catégorie:Pâques Catégorie:Carl Friedrich Gauss