En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie finale, sur un ensemble d'arrivée commun à une famille d'applications définies chacune sur un espace topologique, est la topologie la plus fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. La notion duale est celle de topologie initiale.

Définition Soient X un ensemble, (Y) une famille d'espaces topologiques et pour chaque indice i ∈ I, une application f : Y → X.

La topologie finale sur X associée à la famille (f) est la plus fine des topologies sur X pour lesquelles chaque f est continue.

Autrement dit : une partie U de X est un ouvert de cette topologie si et seulement si pour tout i ∈ I, f(U) est un ouvert de Y.

Exemples Si la famille (Y) est réduite à un seul espace Y, muni d'une relation d'équivalence ∼, la topologie quotient est la topologie finale associée à la surjection canonique de Y sur l'ensemble quotient La somme topologique d'une famille d'espaces est la topologie finale associée aux injections canoniques de ces espaces dans leur réunion disjointe. Plus généralement, la topologie cohérente sur un ensemble dont certaines parties sont munies de topologies est la topologie finale associée à ces données. La limite inductive d'un système inductif d'espaces topologiques est la limite inductive ensembliste, munie de la topologie finale déterminée par les applications canoniques. Dans le treillis des topologies sur un ensemble X, la borne inférieure d'une famille (τ), c'est-à-dire l'intersection des topologies τ (vues comme ensembles d'ouverts), est la topologie finale associée aux fonctions id : (X, τ) → X. L'espace étalé d'un faisceau est muni d'une topologie finale.

Propriétés

Une partie F de X est un fermé de cette topologie si et seulement si pour tout i ∈ I, f(F) est un fermé de Y.

Cette topologie finale peut être caractérisée par la propriété universelle suivante : une application g de X dans un espace Z est continue si et seulement si pour tout i ∈ I, g∘f est continue.

Si les images des f forment un recouvrement de X alors X, muni de la topologie finale, est canoniquement un quotient de la somme topologique ∐Y.

Description en termes de catégories Dans le langage de la théorie des catégories, la construction de la topologie finale peut être décrite comme suit. Soit Y un foncteur, d'une catégorie discrète I dans la catégorie des espaces topologiques Top, c'est-à-dire la donnée, pour chaque objet i de I, d'un espace topologique Y. Soit Δ le de Top dans la catégorie de foncteurs Top (Δ envoie tout espace X sur le foncteur constant X). La (Y ↓ Δ) est alors la sur Y, dont les objets sont les couples (X, f) où f est une famille d'applications continues f : Y → X. Si U désigne le foncteur d'oubli de Top dans Set et Δ' le foncteur diagonal de Set dans Set, alors la catégorie comma (UY ↓ Δ') est la catégorie de tous les cônes sur UY. La construction de la topologie finale peut alors être décrite comme un foncteur de (UY ↓ Δ') dans (Y ↓ Δ), adjoint à gauche du foncteur d'oubli correspondant.

Références

Article connexe Objet initial et objet final

Finale