En mathématiques, linégalité de Muirhead, portant le nom du mathématicien écossais Robert Franklin Muirhead, est une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

Définitions préliminaires La « a-moyenne »

Soit une famille de nombres réels.

Pour toute famille () de nombres réels strictement positifs, on définit la -moyenne, notée , de par :

où la somme est étendue à toutes les permutations de {1, ..., n}.

Pour , on obtient la moyenne arithmétique de et pour , la moyenne géométrique de . Quand , il s'agit de la moyenne de Heinz.

Matrices bistochastiques

Une matrice carrée est bistochastique ou doublement stochastique si à la fois et sa transposée sont des matrices stochastiques. Ainsi, une matrice est bistochastique si ses éléments sont strictement positifs, et si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne est égale à 1.

L'inégalité de Muirhead

La démonstration utilise le fait que toute matrice bistochastique est la moyenne pondérée de matrices de permutation (cet énoncé constitue le théorème de Birkhoff-von Neumann). Une démonstration se trouve par exemple dans le livre de .

Une autre formulation À cause de la symétrie dans la somme, on peut supposer que les familles et sont décroissantes :

On peut montrer que l'existence d'un matrice bistochastique telle que est alors équivalente au système d'inégalités : pour , avec égalité pour , en d'autres termes, au fait que la famille majorise . On peut donc énoncer :

L'inégalité arithmético-géométrique comme conséquence

On se sert de la deuxième formulation de l'inégalité. Posons

Alors Donc majorise . Il en résulte que , ce qui s'écrit :

.

On retrouve ainsi précisément l'inégalité arithmético-géométrique.

Autres exemples Notation Dans les calculs, une notation spéciale pour la sommation peut s'avérer utile. On écrit

à la place de la notation

où la sommation est effectuée sur toutes les permutations. Ainsi

Exemples d'emploi

Pour prouver que

on transforme l'inégalité en une somme symétrique :

Comme la suite (2, 0) majorise (1, 1), on obtient l'inégalité par le théorème de Muirhead.

Un deuxième exemple est : . On part de :

qui est vrai parce que (3, 0, 0) majorise la famille (1, 1, 1). La sommation sur les six permutations réduit l'inégalité à :

d'où le résultat recherché.

L'inégalité de Nesbitt : , qui s'écrit aussi : , constitue un troisième exemple d'application.

Références

Lien externe

Muirhead Catégorie:Moyenne