Une valeur absolue ultramétrique est une application d'un corps K dans l'ensemble ℝ des nombres réels positifs vérifiant les trois propriétés suivantes : (axiome de séparation) ; (morphisme de groupes multiplicatifs de K* dans ℝ*) ; (inégalité ultramétrique) quels que soient les éléments et de K.
Exemples Valeur absolue triviale La valeur absolue triviale sur K associe à 0 la valeur 0, et à tout autre élément de K la valeur 1.
C'est la valeur absolue ultramétrique associée à la valuation triviale sur K.
Valeur absolue p-adique
Soit un nombre premier arbitraire . On peut écrire de façon unique n'importe quel nombre rationnel sous la forme :
où et où et sont premiers entre eux et premiers avec .
On définit alors l'application associant à un nombre rationnel la valeur . Par exemple,
Cette application est une valeur absolue ultramétrique sur le corps , associée à la valuation p-adique.
Liens avec les notions voisines Une telle application est un cas particulier de valeur absolue sur un corps. L'application est par conséquent une distance sur K, la symétrie étant due au fait que pour tout élément de K. Cette distance est ultramétrique. Une application est une valeur absolue ultramétrique si et seulement si c'est une valeur absolue associée à une valuation à valeurs réellesN. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, , ..
Propriétés Notons désigne l'élément neutre pour la multiplication de K.
Pour tout couple d'éléments du corps K,
Notes et références
Article connexe Norme ultramétrique
Catégorie:Fonction remarquable