En mathématiques, une rosace, ou rhodonée, est une courbe plane obtenue en traçant une sinusoïde en coordonnées polaires.
Généralités À une similitude près, ces courbes sont définies par une équation polaire de la forme :
ou sous forme paramétrique par les fonctions :
étant un nombre réel : si est rationnel, alors la courbe est fermée et de longueur finie ; Dans ce cas et en considérant , la courbe se fermera lorsque l'angle polaire atteindra la valeur ; Avec si est impair. Avec si est pair. si k est irrationnel, alors la courbe n'est pas fermée et sa longueur est infinie.
La rosace aura : pétales si est un entier impair, car la courbe est entièrement tracée quand θ varie de 0 à π (quand θ varie de π à 2π, la courbe repasse par les points déjà tracés) ; pétales si est un entier pair, car la courbe est tracée exactement une fois quand θ varie de 0 à 2π. pétales si est une fraction irréductible de dénominateur 2 (exemples : 1/2, 5/2) ; pétales si est une fraction irréductible de dénominateur 6 et supérieure à 1 (exemples : 7/6, 17/6).
Si est une fraction irréductible de dénominateur 3 et supérieure à 1, la rosace aura : pétales si son numérateur est impair (exemples : 5/3 et 7/3) ; pétales si son numérateur est pair (exemples : 4/3 et 8/3).
Le terme rhodonea, francisé en rhodonée, a été choisi par le mathématicien italien Luigi Guido Grandi entre 1723 et 1728.
Aire Une rosace dont l'équation polaire est de la forme
où est un entier positif, a une aire égale à
si est pair et
si est impair.
Le même principe s'applique aux rosaces d'équation polaire de la forme :
puisque leurs graphes ne sont que des images par rotation des rosaces définies en utilisant le cosinus.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Courbe de Lissajous Quadrifolium - une rosace avec = 2.
Les inverses des rosaces : les épis.
Liens externes
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