Chaîne de Steiner

vignette|droite|Une chaîne de Steiner fermée de douze cercles de Steiner (en noir); les deux cercles de départ sont en bleu (extérieur) et en rouge (intérieur). En géométrie, une chaîne de Steiner est une suite finie de cercles tangents à deux cercles fixes disjoints , chacun des cercles étant en contact avec le précédent.

Les chaînes de Steiner portent le nom du mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863).

Un résultat fondamental est le porisme de SteinerUn porisme est un énoncé qui relie le nombre de solutions d'un problème. En géométrie, il décrit une figure qui existe seulement si une certaine condition est remplie, dans quel cas il y a une infinité de solutions. , ou alternative de Steiner , qui dit :

Si, pour une paire de cercles de départ, le dernier cercle de la chaîne touche le premier, alors la chaîne se refermera quel que soit le premier cercle, avec le même nombre de cercles.

On en déduit que si une chaîne ne se referme pas, aucune ne se refermera.

Pour la construction de chaînes de Steiner, l'inversion est un outil puissant qui transforme une chaîne de Steiner en une autre chaîne de Steiner, en particulier en une chaîne de Steiner dont les cercles de départ sont concentriques. Les hexlets de Soddy sont une généralisation des chaînes de Steiner avec des sphères, et les chaînes de Pappus étudient le cas où les deux cercles de départ sont tangentsOgilvy, ..

Terminologie et variantes

Terminologie Il est commode de voir une chaîne de Steiner comme formée d'une succession de cercles, appelés « cercles de Steiner », commençant par un cercle « initial » et se terminant par un cercle « final ». Habituellement, on considère des chaînes « fermées », dans lesquelles le cercle final est aussi tangent au cercle initial; sinon la chaîne est dite « ouverte ».

Quant aux cercles de départ, la seule condition est qu'ils ne se touchent pas et ne se coupent pas. Cela implique que, soit le plus petit des cercles est à intérieur du plus grand, soit les deux cercles sont à l’extérieur l'un de l’autre sans se toucher.

La figure illustre le cas d'une chaîne de Steiner fermée avec les deux cercles de départ contenus l'un dans l'autre .

Variantes

En plus du cas standard, il existe plusieurs variantes.

Chaîne fermée, ouverte ou multi-cyclique

Habituellement, on considère des chaînes de Steiner fermées, où les cercles initial et final sont tangents. Sinon, il reste un espace entre les deux cercles extrêmes (le cas d'une chaîne ouverte), et si on ajoute un cercle supplémentaire, les deux cercles extrêmes se chevauchent. En poursuivant la construction, on peut faire plusieurs tours et allonger la chaîne. Si finalement on obtient que le cercle final est tangent au cercle initial, on parle d'une chaîne multi-cyclique. L'image de droite montre une chaîne de Steiner qui fait deux tours avant de se fermer ; le premier tour est représenté par des cercles noirs, le deuxième par des disques verts. Dans ces exemples les cercles de départ sont concentriques (en couronne).

Trois variantes sur la position des cercles

Les deux cercles de départ peuvent être l'un à l'intérieur de l'autre, ou à l'extérieur l'un de l'autre. Dans le deuxième cas, l'un des cercles de la chaîne peut contenir tous les autres.

Ceci donne les trois variantes suivantes (dans les illustrations, les cercles de la chaîne sont en noir, les cercle initial et final en bleu et en rouge) : Les cercles de départ sont l’un à lintérieur de l’autre ; les cercles de la chaîne sont tangents entre eux, et tangents aux cercles de départs ; ils sont à l'intérieur du grand cercle de départ et donc à l'extérieur du petit cercle : c'est le cas « standard ». Les cercles de départ sont à lextérieur l'un de l’autre ; les cercle de la chaîne, tangents entre eux, sont tangents aux cercles de départ, mais à lextérieur des deux. Les cercles de départ sont à lextérieur l'un de l’autre ; les cercles de la chaîne sont toujours tangents entre eux et ils sont tous sauf un à l'extérieur des deux cercles de départ ; le dernier des cercles de la chaîne au contraire contient les deux cercles de départ et les autres cercles de la chaîne (dans l'exemple, sept des huit cercles de la chaîne et les cercles de départ sont à lintérieur du huitième).

Propriétés

Porisme de Steiner

thumb|right|Animation illustrant le porisme de Steiner et diverses propriétés : les centres des cercles de la chaîne sont sur une conique (verte), les points de contacts sur un cercle (couleur or).

L'énoncé fondamental sur les chaînes de Steiner est la propriété appelé porisme ou alternative de Steiner :

En d'autres termes, toute chaîne se déduit de l'une d'entre elles par une « rotation »Ce ne sont pas des rotations usuelles, puisque la taille change aussi ! le long des chaînes de départ.

L'image animée illustre le théorème dans le cas d'une chaîne de six cercles dans le cas standard : les cercles de départ sont bleu et rouge.

Centres et points de contact

Les points de contact des cercles d'une chaîne de Steiner sont situés sur un cercle (de couleur or dans la figure animée) qui est le cercle bissecteur (en anglais « mid-circle »).

Les centres des cercles sont sur une conique : Dans le cas standard, c'est une ellipse (verte dans l'animation) dont les foyers sont les centres des deux cercles de départ. Cette propriété continue à être vérifiée quand les cercles de la chaîne sont à l'intérieur d'une des cercles et à l'extérieur de l'autre, et ceci également dans les chaînes de Pappus, dans les hexlets de Soddy tridimensionnels et dans les cercles d'Apollonius ou les cas du théorème de Descartes. Dans l'autre cas (où les deux cercles de départ sont à l'extérieur l’un de l’autre), les centres sont sur une hyperbole.

Droites concourantes Les tangentes aux points de contact successifs des cercles, et les droites joignant les deux points de contact de chaque cercle avec les cercles de départ sont concourantes .

Généralisations

Lorsque les deux cercles de départ se touchent, on obtient une chaîne de Pappus. Les hexlets de Soddy sont des chaînes de Steiner de six éléments en trois dimensions : les cercles sont remplacés par des boules. Les centres des six boules (qui forment le « sextuple ») sont dans un même plan et sont situés sur la même ellipse que les centres des cercles de la chaîne de Steiner correspondante. L'enveloppe des boules est une , image par inversion d'un tore. En fait, les six boules du sextuple ne touchent pas seulement la boule de départ intérieure (en rouge) et la boule de départ extérieure, mais aussi deux autres boules (qui ne sont pas représentées dans l’animation) situées respectivement au-dessus et en dessous du plan contenant les centres du sextuple..

Le cas des cercles concentriques

Le cas le plus simple est celui où les deux cercles de départ son concentriques. Les cercles d'une chaîne de Steiner fermée sont tous de même rayon. On note et le rayon du petit et du plus grand des cercles de départ, et le rayon des cercles de Steiner. Ces nombres sont liés par la relation . Si la chaîne est composée de cercles, l'angle entre les centres de deux cercles consécutifs est . La distance entre les centres de deux cercles consécutifs est , et la bissectrice crée deux triangles rectangles. Notons l'angle du point central ; alors . Il en résulte que :

Ceci donne l'expression pour le rayon des cercles de Steiner :

Comme , la relation entre et pour qu'une chaîne de Steiner à cercles existe est, avec , donnée par : . Le critère portant sur le rapport entre les rayons s'étend à toute paire de cercles en utilisant l' des deux cercles de départ. Si ceux-ci sont concentriques, l'écart est par définition le logarithme naturel du quotient de leur rayon, soit . Le critère s'écrit alors .

Si une chaîne de Steiner multi-cyclique contient cercles et fait tours avant de se refermer, l'angle entre deux cercles de Steiner est :

Les autres formules restent inchangées.

Le porisme de Steiner, c'est-à-dire l'affirmation que toute rotation d'une chaîne de Steiner en est encore une, est évidente dans le cas des cercles concentriques.

Le cas général

Le cas général se ramène au cas de deux cercles concentriques par l'emploi d'un outil puissant qui est l'inversion dans le plan. Les propriétés générales des inversions qui servent ici sont : Un cercle qui ne passe pas par le centre d'inversion est transformé en un cercle qui ne passe pas par le centre d'inversion. Deux cercles tangents restent tangents après inversion. Les centres d'un cercle et de son inverse sont alignés avec le centre d'inversion.

La propriété de l’inversion qui intervient ici est :L'inversion transforme une chaîne de Steiner en une autre chaîne avec le même nombre de cercles.Pour la preuve de l’existence, on utilise la propriété suivante qui permet de ramener le cas général au cas de cercles concentriques :Deux cercles qui ne s'intersectent pas peuvent être transformés, par inversion, en deux cercles concentriques.Les animations suivantes fournissent une illustration de la transformation d'une solution avec des cercles concentriques (les colliers de Steiner) en une solution générale (une chaine de Steiner) sans symétrie apparente. Les paires de figures sont inverses l'une de l'autre, avec le centre d'inversion en et le cercle d'inversion de rayon unité.

Les couleurs des intérieurs/extérieurs des cercles sont conservées, mais du fait de l'inversion l'intérieur d'un cercle peut devenir l'extérieur après inversion. Le fond bleu clair du collier, extérieur au cercle noir, devient l'intérieur du cercle noir après inversion. Seuls les cercles du collier ou de la chaine, qui ne contiennent pas le centre d'inversion, ne subissent pas ce retournement : l'intérieur bleu reste un intérieur bleu après inversion. Le cercle vert, orange à l'intérieur et jaune à l'extérieur, devient par inversion un cercle vert, mais jaune à l'intérieur et orange à l'extérieur.

Les deux images suivantes montrent l'indépendance de la position du choix du premier cercle de la chaine. L'invariance est évidente dans le cas du collier, mais cette propriété se conserve dans l'inversion et fournit une preuve visuelle du porisme de Steiner.

Les deux animations suivantes illustrent les choix discrets des rayons des cercles du collier selon le nombre de cercles. On fait varier continument ce rayon, et seules les valeurs permises conduisent à des chaines fermées. La même propriété est conservée dans l'inversion effectuée sur chacune des images de l'animation.

Chaînes conjuguées

Si une chaîne de Steiner est composée 4 cercles, deux cercles opposés de la chaîne peuvent être choisis comme cercles de départ d'une nouvelle chaîne ; les cercles de départ de la chaîne originale deviennent éléments de la nouvelle chaîne. Ceci peut être généralisé à une des chaînes de Steiner ayant un nombre pair d'éléments, en la décomposant en plusieurs chaînes.

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