Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland..., qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.
Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.
Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi.. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).
Énoncé
Soient : un espace métrique complet, une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à , un réel strictement positif et un point de tel que . Alors, pour tout , il existe un point de tel que :
Variantes L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier (en remplaçant par et par ), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à le préordreSur l'ensemble des points où est à valeurs finies, c'est un ordre. ≼ défini par : .
Démonstrations Dans les variantes ci-dessus, on a évidemment 1 ⇒ 2, 3 ⇒ 4 et, en notant 2½ la version de l'énoncé usuel, 2 ⇒ 2½ et 2½ ⇒ 3. Preuve de 1 : à partir de , on définit par récurrence une suite , en notant l'ensemble des ≼-minorants de et en choisissant dans un point tel que . L'unique point commun aux fermés est alors solution. 4 ⇒ 1, en changeant d'espace : le sous-espace des ≼-minorants d'un point arbitraire de est fermé donc complet. Si vérifie 3 (ou même seulement 4) pour toute application comme dans l'énoncé, alors il est complet. : soit une suite de Cauchy dans . L'application définie sur par est uniformément continue. Soit minimal pour l'ordre ≼ associé à . Pour tout entier naturel , donc par passage à la limite, , par conséquent , autrement dit converge vers .
Notes et références
Article connexe Théorème de la goutte
Catégorie:Espace métrique Catégorie:Calcul des variations Catégorie:Théorème d'analyse fonctionnelle Ekeland