Le théorème de la goutte est un théorème d'analyse fonctionnelle, démontré par Josef Daneš en 1972.Dans cette première version, B est une boule fermée et le point x, au lieu d'appartenir à une goutte dépendant d'un point du fermé (non vide) F, appartient à une boule de même centre c que B et de rayon arbitrairement proche de , 2.4., 2.2.4. puis généralisé en 1985..
Dans un espace vectoriel réel, on définit la « goutte » D(x, C), associée à un point x et un convexe C, comme l'enveloppe convexe de {x}∪C. Le théorème généralisé s'énonce alors ainsi, 2.5., 1.7.8 (pour B une boule fermée, et en rectifiant une coquille flagrante). :
Théorèmes équivalents Le théorème de la goutte est équivalent, entre autres, au principe variationnel d'Ekeland et au « théorème du pétale »., qui s'énonce comme suit, en définissant un « pétale » P(x, y) comme l'ensemble des points z tels que d(z, x) + d(z, y) ≤ d(x, y) :
Plus précisément : le théorème de la goutte non généralisé implique le principe d'Ekeland ; le principe d'Ekeland implique le théorème du pétale, Proposition 3.2 ou , 2.2.2. ; le théorème du pétale implique le théorème de la goutte, simple ou généralisé, Proposition 3.3. déduit directement son théorème (généralisé) du principe d'Ekeland..
On peut s'étonner qu'un théorème purement métrique, comme celui du pétale ou d'Ekeland, se déduise d'un théorème sur les espaces vectoriels normés. Cela résulte du plongement de Kuratowski..
Notes et références
Voir aussi Article connexe
Bibliographie
Goutte Catégorie:Espace de Banach