vignette|redresse=1.8|Alors que les résonances orbitales sont généralement déstabilisatrices, le cas des points stables de Lagrange, dit en résonance 1:1, est une des exceptions. Pour le système Soleil-Jupiter, ceux-ci sont occupés par les astéroïdes troyens (sur le schéma : Grecs et Troyens). Les astéroïdes Hilda sont en résonance 3:2. Un point de Lagrange (noté à ), ou, plus rarement, point de libration, est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en mouvement orbital l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément le mouvement orbital des deux corps. Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps, de masse négligeable, resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens où il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue.
Au nombre de cinq, ces points se scindent en deux points stables dénommés et , et en trois points instables notés , et . Ils sont nommés en l'honneur du mathématicien français Joseph-Louis LagrangeEssai sur le Problème des Trois Corps, ltas-vis.ulg.ac.be.. Ils interviennent dans l'étude de certaines configurations d'objets du Système solaire (principalement pour les points stables) et dans le placement de divers satellites artificiels (principalement pour les points instables). Ce sont les points remarquables de la « géométrie de RocheGéométrie de Roche, Jean-Marie Hameury, Observatoire de Strasbourg , astro.u-strasbg.fr. » (points-col et extrema), laquelle permet notamment de classer les différents types d'étoiles binaires.
Les trois points , et sont parfois appelés les points d'Euler, en l'honneur de Leonhard Euler, l'appellation de points de Lagrange étant alors réservée aux deux points et , (lire en ligne, sur Google Livres)..
Les points et , en raison de leur stabilité, peuvent naturellement attirer ou retenir longtemps des objets et sont donc peu utilisables à cause du risque de collision, alors qu'au contraire, les points , et , étant instables, ne peuvent pas maintenir naturellement des objets, mais peuvent être utilisés par des missions spatiales moyennant des corrections d’orbite peu coûteuses en termes de carburant.
Historique En mécanique céleste, le problème à trois corps a passionné de nombreux mathématiciens. Newton, après avoir énoncé en 1687 sa loi universelle de la gravitation, qui affirme que « les corps massifs s'attirent entre eux par une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance de leurs centres de gravité », chercha à décrire le comportement de trois corps sans y parvenir. Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange étudia en 1772 le cas d'un petit corps, de masse négligeable (ce qu'on appelle aujourd'hui corps d'épreuve ou particule test), soumis à l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une planète. Il découvrit qu'il existait des positions d'équilibre pour le petit corps, des endroits où toutes les forces se compensent (en tenant compte de l'effet centrifuge du référentiel d'observation utilisé).
Les cinq points sont mis en évidence dans le cadre d'une simplification du problème à trois corps. Le problème simplifié est dit restreint, circulaire et plan. Il est restreint car un des trois corps, le corps d'épreuve, est de masse négligeable par rapport aux deux autres, les corps primaires. Il est circulaire car les deux corps primaires sont en orbite circulaire autour de leur centre de masse commun. Enfin il est plan car le corps d'épreuve se meut dans le plan de l'orbite précitée. C'est dans ce cadre que Leonhard Euler découvre les trois premiers points (L, L et L) en . Joseph-Louis Lagrange découvre les deux autres (L et L) en . Joseph Liouville établit l'instabilité linéaire des trois premiers (L, L et L) en . Gabriel Gascheau établit la condition de stabilité linéaire des points L et L en . Edward J. Routh la redécouvre en et sa valeur numérique est nommée en son honneur. J. M. Anthony Danby en et Arthur Bennett en étudient les points L et L dans le cas elliptique.
Dans le Système solaire, la condition de stabilité linéaire des points L et L s'est avérée satisfaite pour toutes les planètes, sauf pour le système Pluton-Charon. C'est l'une des raisons qui ont conduit l'Union astronomique internationale (UAI) à adopter en , pour le Système solaire, une définition des planètes et une autre des planètes naines, catégorie dont relève désormais Pluton. En effet, la condition de stabilité des points L et L est reliée à la notion de , qui figure dans la définition précitée des planètes. D'autre part, pour l'UAI, la condition de stabilité linéaire des points L et L est, depuis , l'un des éléments de la d'une planète (au sens large, exoplanètes comprises).
Définition vignette|redresse=1.4|Trois des points de Lagrange sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans le cas d'une grande dissymétrie de masse entre ceux-ci, deux points sont situés proches et de part et d'autre du corps peu massif, alors que le troisième est quasiment situé à l'opposé du corps peu massif par rapport au corps massif. vignette|redresse=1.4|Les deux derniers points de Lagrange forment avec les deux corps des triangles équilatéraux. Un objet de faible masse, situé en ces points, ne bouge plus relativement aux deux autres corps, et tourne de concert avec eux (par exemple une planète et le Soleil). Si l'on donne en exemple les points de Lagrange du système Soleil-Terre, ces cinq points sont notés et définis comme suit (échelle non respectée) : : sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci, la position exacte dépendant du rapport de masse entre les deux corps ; dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible que l'autre, le point est situé nettement plus près du corps peu massif que du corps massif ; : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite. Dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible, la distance de à ce corps est comparable à celle entre et ce corps ; : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande. Dans le cas où l'un des deux corps est notablement moins massif que l'autre, la distance entre et le corps massif est comparable avec celle entre les deux corps ; et : sur les sommets des deux triangles équilatéraux, dont la base est formée par les centres de gravité des deux masses en question. étant celui des deux points qui se trouve sur l'orbite de la plus petite des masses autour de la grande, et placé le plus en avant dans le sens du déplacement de cette petite masse, et étant lui en retard, symétriquement.. Ces points sont parfois appelés points de Lagrange triangulaires, ou points troyens et grecs, du fait que ce sont les lieux où ont été initialement repérés les astéroïdes troyens du système Soleil-Jupiter. Contrairement aux trois premiers points, ces deux derniers ne dépendent pas des masses relatives des deux autres corps.
Calcul de la position des points de Lagrange Le calcul de la position des points de Lagrange se fait en considérant l'équilibre d'un corps de masse négligeable entre le potentiel gravitationnel créé par deux corps en orbite et la force centrifuge. La position des points et peut être obtenue analytiquement. Celle des trois autres points à s'obtient en résolvant numériquement, ou éventuellement à l'aide d'un développement limité, une équation algébrique. La position de ces trois points est donnée dans le tableau ci-dessous, dans le cas où la masse d'un des deux corps (en l'occurrence le ) est négligeable devant l'autre, situé à une distance R du précédent. Les positions sont données le long de l'axe reliant les deux corps, dont l'origine est identifiée au centre de gravité du système, et dont l'orientation va du au . Les quantités r = (1-q)R et q dénotent respectivement la position du sur l'axe et le rapport de la masse du corps le plus léger à la masse totale des deux corps. Enfin, on utilise la quantité ε définie par .
Point Position par rapport au centre de gravité du système Dans la littérature, on trouve parfois des expressions quelque peu différentes, du fait que l'origine de l'axe est prise ailleurs que sur le centre de gravité, et que l'on utilise comme terme à la base du développement limité le rapport entre les deux masses plutôt que le rapport de la plus petite à la masse totale, c'est-à-dire que l'on utilise parfois la quantité q définie par
Stabilité vignette|redresse=1.2 vignette|redresse=1.2|Les points et , bien que situés à des maxima du potentiel, sont paradoxalement stables. , et qui sont des points-col sont instables. thumb|Visualisation de la relation entre les points de Lagrange (rouge) d'une planète (bleue), en orbite autour d'une étoile (jaune) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et le potentiel effectif dans le plan contenant l'orbite (modèle de feuille de caoutchouc grise avec des contours violets d'égal potentiel)..
Le calcul ci-dessus n'indique en rien si les points de Lagrange sont stables. La stabilité ou non de ces points est du reste peu intuitive. Dans le référentiel tournant avec les deux corps, une particule d'épreuve peut être vue comme soumise à un potentiel incluant la contribution gravitationnelle et celle de la force centrifuge. Ce potentiel, noté Ω, s'écrit ainsi
Tous les termes de ce potentiel sont négatifs et décroissent à mesure que l'on s'éloigne des masses (pour les deux premiers termes) ou du centre de gravité du système (pour le troisième). On peut ainsi montrer que les points de Lagrange et sont des maxima locaux du potentiel Ω (voir ci-dessous) et que les trois autres points sont des points selles. D'ordinaire, une position d'équilibre (déterminée par l'annulation des dérivées du potentiel) est stable uniquement si on se situe dans des minima locaux du potentiel. Cependant, étant donné que l'on est dans un référentiel tournant, le référentiel est non inertiel. Un objet se déplaçant dans ce référentiel, par exemple au voisinage d'une position d'équilibre, va être soumis à la force de Coriolis, et son mouvement ne dépend pas uniquement de la forme du potentiel. Pour étudier la stabilité des points de Lagrange, il faut donc tenir compte de la force de Coriolis.
Pour calculer la stabilité des points de Lagrange, il faut ainsi étudier l'équation du mouvement d'un objet situé au voisinage d'un de ces points. En notant δR le vecteur de coordonnées δX et δY donnant l'écart d'un tel objet à un des points de Lagrange (que l'on suppose confiné au plan orbital), l'équation du mouvement s'écrit
où δf représente la force par unité de masse exercée sur l'objet. Cette force est petite du fait qu'au point de Lagrange la force (constituée d'une composante gravitationnelle et de la force centrifuge) est nulle et que l'on se place à proximité d'un tel point. Cette force peut se calculer en termes d'un développement limité. Par exemple, pour la composante X, on a
Le premier terme correspond à la force s'exerçant au point de Lagrange, force qui est nulle par construction. Par ailleurs, la force dérivant d'un potentiel, on peut exprimer les dérivées de la force en termes de dérivées secondes du potentiel :
On peut ainsi exprimer l'équation du mouvement en termes des composantes selon
Ce groupe d'équations peut être mis sous la forme d'un système de quatre équations différentielles du premier ordre :
où les dérivées partielles du potentiel Ω ont été notées en indice précédé d'une virgule (par exemple, Ω correspond à ).