Le paradoxe du singe savant est un théorème selon lequel un singe qui tape indéfiniment et au hasard sur le clavier d’une machine à écrire écrira presque sûrement n'importe quel texte donné. Dans ce contexte, « presque sûrement » est une expression mathématique ayant un sens précis, et le singe n'est pas vraiment un singe mais une métaphore pour un mécanisme abstrait qui produit une séquence aléatoire de lettres à l'infini. Le théorème illustre les dangers de raisonner sur l'infini en imaginant un très grand nombre, mais fini, et vice versa. La probabilité qu'un singe tape avec exactitude un ouvrage complet comme Hamlet de Shakespeare est si faible que la chance que cela se produise au cours d'une période de temps de l'ordre de l'âge de l'univers est minuscule, bien que non nulleLa probabilité étant définie au sens moderne du terme par l'intégrale de Lebesgue, un événement de probabilité nulle lui-même n'est stricto sensu pas impossible. Ainsi, la probabilité qu'un réel choisi au hasard soit exactement rationnel ou entier est nulle, et les rationnels (donc les entiers) n'en existent pas moins, et en nombre infini (mais infini dénombrable, d'un plus petit ordre que l'infini « continu »..
Il faut cependant remarquer qu'il serait impossible de reconnaître entre tous les textes frappés lequel serait Hamlet sans connaître au préalable à la lettre près le texte de HamletEn d'autres termes, l'information se trouve chez l'observateur, et non dans ce qui est observé., ce qui enlèverait tout intérêt au procédé.
Analyse succincte
On pourrait voir dans cette métaphore davantage une lapalissade qu'un paradoxe : si toutes les séquences peuvent être créées, cela signifie en effet... qu'aucune ne peut être exclue, et donc pas davantage Hamlet qu'une autre. Cependant, le résultat en question est plus précis, car on pourrait penser que la probabilité pour qu'une séquence donnée ayant du sens apparaisse est nulle ou du moins extrêmement faible ; or, au contraire, il est presque sûr que toute séquence finie finira par apparaître. Ce qui fait réellement sens, et ne heurte pas davantage le , est que les séquences ayant du sens pour un observateur donné (parlant une ou plusieurs langues données, et doté d'une culture lui permettant de reconnaître des citations classiques) sont beaucoup plus rares que les autres.
On trouve des traces de ce genre de déclaration dans les œuvres d'Aristote, de Pascal, de Diderot (Diderot, Pensées philosophiques, 1746, paragraphe XXI.), de Rousseau. et de Swift, jusqu'à son évolution vers la version avec un dactylographe. Ce résultat fut initialement présenté par Émile Borel en 1909 dans son livre de probabilités.
Il est à noter que la conformité d'un texte frappé à un autre texte donné (ici, Hamlet) ne peut être établie qu'en possédant ce second texte. Le processus est donc bien entendu inutilisable en matière de création littéraire (ou encore de prédiction d'événements) ; c'est le thème traité par Jorge Luis Borges dans sa nouvelle La Bibliothèque de Babel.
Variante Des variantes de ce théorème incluent plusieurs, voire un nombre infini, de dactylographes et le texte à écrire passe d'une seule phrase à tous les livres d'une bibliothèque. En France on parle de tous les livres de la Bibliothèque nationale de France, en anglais de l'œuvre complète de William Shakespeare.
D'après une formulation populaire du théorème, une infinité de singes dactylographiant pendant une durée infinie produiront un texte donné. Insister sur les deux infinis est cependant excessif. Un seul singe immortel qui tape indéfiniment dactylographiera presque sûrement n'importe quel texte fini, et même une infinité de fois.
Démonstration
Commençons par préciser ce que l'on entend par « événements indépendants » (ici, les touches choisies successivement par le singe, qui sont censées être choisies « indépendamment » les unes des autres, c’est-à-dire que le choix de la lettre suivante ne dépend pas des lettres précédentes ; c'est le cas par exemple si le singe a une mémoire de « poisson rouge »). Deux événements sont dits indépendants si la probabilité pour que tous deux se produisent est égale au produit des probabilités pour que chaque événement se produise. Par exemple, si la probabilité pour qu’il pleuve sur Sydney un jour particulier est 0,3 et la probabilité pour qu’il y ait un tremblement de terre à San Francisco un jour particulier est 0,8, alors la probabilité pour que tous les deux se produisent le même jour est égale à 0,3 × 0,8 = 0,24.
Supposons maintenant que la machine à écrire soit pourvue de 50 touches, et que le mot à taper soit « banane ». En tapant au hasard, il y a une chance sur 50 que la première lettre tapée soit b ; de même, il y a une chance sur 50 que la deuxième lettre tapée soit a, et ainsi de suite. Ces événements sont indépendants, et ainsi la probabilité que les six lettres du mot « banane » soient tapées est de (1/50). Pour la même raison, il y a à nouveau une chance sur 50 que les six lettres suivantes soient celles du mot « banane », et ainsi de suite.
La probabilité de ne pas taper « banane » dans un de ces blocs consécutifs de 6 lettres est de . Comme chaque bloc est tapé indépendamment, la probabilité qu'il n'y ait pas « banane » parmi les n premiers blocs de 6 lettres est .
Quand n devient très grand, se rapproche de 0 (c'est une suite géométrique). Pour un entier n égal à un million, est égal à 0,9999, pour un n égal à , vaut 0,53 et pour un n égal à 100 milliards, il vaut 0,0017. La probabilité tend vers zéro quand n devient infini.
Ainsi, la probabilité que le singe n'ait pas tapé « banane » après frappes est toujours plus petite que ( est la probabilité que le singe n'ait pas tapé « banane » dans un des blocs consécutifs de 6 lettres ; si par exemple le singe commence en tapant « abanane », il a effectivement tapé « banane », mais il n'a pas tapé « banane » dans un des blocs qu'on a considérés). Comme tend vers 0, en passant à la limite, on trouve :
La probabilité que le singe ne tape jamais « banane » vaut 0.
C'est dire que, presque sûrement, le singe tape le mot « banane » à un moment. (On peut même dire qu'il tape le mot « banane » dans un de nos blocs de 6 caractères.)
L'argument précédent reste valable pour toute chaîne de caractères finie, et pour toute taille de clavier.
Pourquoi dire « presque sûrement » alors que l'événement est de probabilité égale à 1 ? Comment un événement possible peut-il être de probabilité nulle ? Il y a une subtilité due au fait que l'ensemble des résultats possibles (ici l'ensemble de toutes les chaînes de caractères infinies) est infini. Ainsi par exemple, l'événement « le singe ne tape que des "a" » fait partie des événements possibles, mais est de probabilité nulleLe fait qu'un événement soit de probabilité nulle ne le rend pas stricto sensu impossible en milieu continu, par suite des propriétés de l'intégrale de Lebesgue ; par exemple le fait qu'un nombre réel tiré chiffre par chiffre soit un rationnel est de probabilité zéro, mais les nombres rationnels n'en existent pas moins, et en nombre infini., tout comme l'événement « le singe ne tape jamais le mot "banane" », comme on vient de le voir.
Généralisation et formalisation
On représente le texte que le singe tape au hasard par une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées et les caractères disponibles sur le clavier sous la forme d'un ensemble fini
tel que
De plus, on suppose que le texte à taper (ici, Hamlet de Shakespeare) est de longueur m et on le représente par la suite
On note
l'événement lors duquel le singe tape entièrement le texte désiré en commençant au k-ième caractère tapé (en d'autres termes, la première lettre de Hamlet est le k-ième caractère tapé par le singe), où
est la tribu engendrée par
L'idée est d'appliquer la loi du zéro-un de Borel. Pour cela, on considère la suite
On vérifie les conditions pour appliquer la loi du zéro-un de Borel :
Indépendance :
sont indépendants par l'hypothèse iid.
On a
En effet, est fini, donc
De plus,
par l'hypothèse iid. On obtient donc
Ainsi, par la loi du zéro-un de Borel, on a
En d'autres termes, l'événement "le singe tape Hamlet en commençant au (n-1)m +1-ième caractère tapé, pour une infinité d'indices n" se réalise presque sûrement, c'est-à-dire qu'il tapera presque sûrement une infinité de fois Hamlet.
En pratique
Sans tenir compte de la ponctuation, ni des espaces, ni de la casse On parle de « casse » pour désigner l'alternative entre capitale (ou majuscule) et minuscule. Voir Casse (typographie), un singe a une chance sur 26 de dactylographier correctement la première lettre du mot Hamlet. Il a une chance sur 676 (26 fois 26) de dactylographier les deux premières lettres. Puisque la probabilité diminue exponentiellement, pour 20 lettres elle ne sera seulement que d’une chance sur 2620 = , à peu de chose près égale à la probabilité d'acheter consécutivement 4 billets de loterie et de gagner le gros lot à chaque fois. Dans le cas du texte entier de Hamlet, les probabilités sont tellement négligeables qu’elles sont difficilement représentables pour un humain. Le texte de Hamlet, même dépouillé de toute ponctuation, contient bien plus de . On peut estimer la probabilité pour un singe tapant au hasard d'obtenir le texte de Hamlet à environ 1/(5×10267000) ; c'est un nombre commençant par 0, suivi d'une virgule et de environ avant le premier chiffre différent de zéro, un 2.
À de telles échelles, on préfère par commodité travailler avec des probabilités mesurées en dB (décibel ou décibansVoir Inférence bayésienne. permettant de mieux situer les ordres de grandeur. Le choix d'un signe parmi 32 représente 5 bits, soit -15 dB (-5 × 10 log10(5)). Celui d'une suite de 10 caractères -150 dB (en théorie de la fiabilité, des -80 dB sont courants, et un petit ouvrage de ... 3 millions de décibans !).
Gian-Carlo Rota écrivit dans un manuel de probabilité (inachevé lorsqu’il mourut) : Si le singe pouvait taper sur son clavier une touche par nanoseconde, alors la durée d'attente pour que le singe dactylographie complètement Hamlet serait si longue que l’âge estimé de l’univers paraîtrait insignifiant par comparaison… et ce n'est pas une bonne méthode pour écrire les pièces de théâtre.
En physique, la force de l'« argument des singes » ne se situe pas dans la probabilité pour que les singes produisent éventuellement quelque chose d’intelligible, mais d'une part dans la réalité pratique qu'ils ne le feront jamais, et surtout dans le fait que s'ils en écrivaient une partie, on ne pourrait l'identifier comme telle qu'en la connaissant déjà. N'importe quel processus physique moins probable que la réussite de tels singes, est, dans le cours d'une vie humaine, et même relativement à l'âge de l'univers, impossible ; c'est là une base statistique liée au second principe de la thermodynamique.
Cet argument est parfois utilisé comme objection contre l'abiogenèse.. La réponse est que la vie n'a pas à sortir toute armée de l'univers comme Minerve de la tête de Jupiter, mais que la vie a émergé par un processus d'évolution. Il faut donc connaître la taille des plus petites molécules autoreproductrices (prions, ARN…) et calculer leur probabilité d'apparition compte tenu des autres facteurs : volume et concentration de la présumée soupe primitive, surface de travail (a priori toutes les planètes de tous les systèmes de toutes les galaxies de tout cet univers), nombre et fréquence des tirages multipliés par le temps. Une fois la séquence amorcée, le mécanisme de sélection naturelle assure sa complexité progressive aussi longtemps qu'existent des ressources en énergie. Néanmoins le tirage initial est en effet proche d'un problème du singe dactylographe pour un texte relativement court. Concernant sa possible rareté malgré la taille de l'univers, voir Paradoxe de Fermi.
Le mythe du singe savant