Dans une réaction en chaîne, la réactivité d'un système nucléaire ou la réactivité d'un assemblage de combustible nucléaireÀ ne pas confondre avec un assemblage de combustible nucléaire ! (tel que le cœur d'un réacteur nucléaire) dépend à la fois de la nature des matériaux présents (densité de matières fissiles, présence de modérateur…) et de sa géométrie (taille de l'assemblage, présence de réflecteurs neutroniques…) ; un assemblage est en règle générale d'autant moins réactif qu'il est petit, car les neutrons produits dans sa partie réactive se perdent au-delà de sa frontière dans un milieu moins réactif. On calcule donc souvent d'abord le facteur de multiplication d'un milieu supposé infini, qui est le maximum qui puisse être atteint par un milieu de nature donnée, puis on calcule la taille effective qu'il faut lui donner pour avoir une réactivité positive, compte tenu des conditions aux limites de l'assemblage (fuites et présence d'éventuels réflecteurs).
Réactivité d'un milieu infini
On parle de facteur de multiplication infini (noté ) lorsque le facteur de multiplication des neutrons est évalué en ne tenant compte que de la composition moyenne du milieu, mais pas de la géométrie de sa frontière (et donc, en particulier, en négligeant les fuites de neutrons) car ceci revient à décrire le processus dans un milieu réactif d’extension infinie. Ce est défini comme le rapport du nombre de neutrons d'une génération au nombre de neutrons de la génération précédente dans un milieu infini :
La formule des quatre facteurs donne un tour plus concret à en faisant apparaître les termes principaux qui le composent.
Évaluation estimative de dans le cas d'un réseau combustible type
On se propose de retrouver par un calcul estimatif la valeur typique de dans le cas d'un réseau de réacteur à eau sous pressionLes réseaux combustibles des réacteurs à eau sous-pression électrogènes sont similaires du point de vue de leurs caractéristiques neutroniques..
Une formulation simplifiée de chacun des quatre facteurs est donnée en fonction des deux caractéristiques primordiales du réacteur à eau pressurisée qui influent sur la réactivité à savoir : l'enrichissement en uranium 235 noté : pour l'enrichissement en noyaux et pour l'enrichissement massique ; le rapport de modération molaire (ou atomique) : noté = Rapport des concentrations volumiques des atomes d'hydrogène et d'uranium = Rapport des nombres d'atomes d'hydrogène et d'uraniumIl est également possible de définir la concentration relative en hydrogène par rapport à la matière fissile par le rapport , cependant les deux grandeurs et ne sont pas indépendantes avec . Une augmentation de l'enrichissement se traduit, toutes choses égales, par une diminution du rapport . Ceci conduit à préférer le paramètre pour paramétrer la modération du cœur..
Les évaluations numériques sont celles du réseau combustible d'un réacteur proche du REP à l'état neuf, supposé exempt de poison neutronique.
Les valeurs à plus de 3 chiffres significatifs sont données, simplement pour éviter un cumul d'erreurs "d'arrondis" sans que ceci veuille dire que le résultat soit précis à mieux que +/- 3 %. valeur à chaud , puissance nulle, avec : de l'uranium enrichi en masse à 2,28 % et en noyaux à 2,31 % un rapport de modération molaire type de 4,34
Les grandeurs numériques précisant la composition du cœur et plus généralement l'ensemble des éléments nécessaires au calcul sont rassemblées dans le tableau Notations - données - résultats en fin d'article.
On appelle combustible au sens de l'application de la formule des quatre facteurs : l'oxyde d'uranium (+ le cas échéant d'autres atomes lourds), l'oxygène du combustible en fait partie mais non pas le zirconium des gaines considéré comme matériau de structureLes définitions des facteurs et souffrent d'une ambiguïté liée à la définition de ce que l'on entend par « combustible ». Le « combustible » peut comprendre l'ensemble des atomes lourds fissiles et non fissiles ou les seuls atomes fissiles. L'approche consistant à limiter le « combustible » aux seuls atomes fissiles : est cohérente avec la définition du facteur donnée dans le tableau ; conduit à des relations un peu plus simples que l'autre ; élimine l’ambiguïté relative aux atomes de forme chimique et structure du combustible (l'oxygène et le zirconium) ; a l'avantage de faire que est indépendant de la géométrie du cœur et ne dépend que des caractéristiques physiques des corps fissiles ; rend la formulation du facteur un peu plus simple. L'approche « atomes lourds » : est plus cohérente avec le fait que des atomes lourds non fissiles en neutrons thermiques le sont en neutrons rapides ; est également plus homogène avec le fait que des atomes lourds non fissiles le deviennent (et réciproquement) par capture neutronique dans le cours de l'évolution du cœur ; a été semble-t-il historiquement plus utilisée que celle ci-dessus dans les ouvrages de neutronique ; on peut raisonnablement penser que c'est celle qui était en usage en 1942 à Chicago, compte tenu de la nature de la pile au graphite.
Dans tous les cas, le produit est conservé, en revanche le facteur dépend de la valeur de ; même si les écarts restent faibles, il ne s'agit donc pas uniquement d'une question formelle de présentation. Pour analyser un résultat d'étude il est nécessaire de savoir laquelle des deux visions a été mise en œuvre.
Dans le présent article on retient l'approche atomes lourds, donc : « combustible » = « oxyde d'uranium » pour un cœur neuf. L'oxygène, lié chimiquement aux atomes lourds fait nécessairement partie du combustible. En outre le combustible est généralement gainé, il convient de préciser si le gainage est considéré comme faisant partie du combustible ou des matériaux de structure. Dans le présent article le gainage est considéré comme matériau de structure..
Évaluation simplifiée du facteur η
= Nombre de neutrons de fission produits par capture de 1 neutron dans le combustible = On exprime tous les termes en fonction de et : = Nombre de neutrons émis par fission ≈ 2,425 dans le cas de 235U : = Section efficace macroscopique de fission de l'uranium 235 = = Section efficace microscopique de fission des atomes fissiles = Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur = Section efficace macroscopique de capture par les atomes fissiles = : = Section efficace microscopique de capture par les atomes fissiles du combustible = Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur = Section efficace macroscopique de capture par les atomes lourds non fissiles = : = Section efficace microscopique de capture par les atomes lourds non fissiles = Concentration volumique des atomes lourds non fissiles dans le cœur
= Section efficace macroscopique de capture par les atomes d'oxygène du combustible = :
En remplaçant et par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par , il vient :
Mis à part l'enrichissement, tous les termes de la relation donnant η sont des constantes physiques. Les grandeurs interviennent en termes relatifs via des rapports et non point en valeur absolue ce qui confère une robustesse très relative au résultat vis-à-vis des variations de températures, spectre en énergie des neutrons et autres. Les valeurs trouvées pour η sont indépendantes de la concentration en matière fissile du milieu considéré ; elles ne dépendent que des concentrations relatives des corps présents dans le milieu exprimées par l'enrichissement en uranium 235. On pose :
termes qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement ou de la modération .
Formule simple :
avec :
Applicable pour
Le facteur η dépend prioritairement de l'enrichissement et marginalement de la modération.
Numériquement : (cf. tableau en fin d'article) Termes de la formule simplifiée donnant :
Résultat : Pour, un enrichissement massique moyen typique de 2,283 % soit 2,312 % en noyaux η ≈ 1,777
Commentaire Pour ce qui concerne la capture des neutrons (donc intervenant dans les facteurs η, f et p) du fait de sa très faible section efficace, l'oxygène peut être largement négligé devant les autres corps. En revanche l'oxygène contribue à la diffusion et au ralentissement des neutrons ; c'est même un excellent modérateur.
Évaluation simplifiée du facteur f
; on exprime tous les termes en fonction de , et
= Section efficace macroscopique de capture dans le modérateur =
= Section efficace macroscopique de capture dans le zirconium et les structures = Dans le cœur d'un REP il n'y a en fait de structures quasiment que le zirconium des gaines et les tubes guides des assemblages de combustible. Dans le réacteur à eau sous-pression électrogène le rapport entre le volume de zirconium et le volume d'UO ne varie que faiblement d'un modèle à l'autre. Il est égal au au rapport de la section du tube de zirconium à la section de la pastille d'UO qui ne change que très peu d'un réseau combustible crayon à l'autre, il en découle que le rapport est constant au d'un type de réacteur à l'autre. Il dépend toutefois de la température de fonctionnement du fait de la dilatation assez sensiblement différente de l'oxyde d'uranium et du zirconium L'oxyde se dilate beaucoup plus que le zirconium ce qui fait que le nombre d'atomes de zirconium présents dans le flux rapporté au nombre d'atomes d'uranium varie avec la température.. Avec les dimensions typiques des crayons combustibles, tubes guides, grilles de maintien des assemblages 17 × 17 en usage en France ce rapport est proche de 0,66. Si on dispose de la géométrie détaillée du combustible on peut aisément recalculer le facteur, à défaut la valeur de 0,66 donne un ordre de grandeur correct.
En remplaçant tous les termes par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par , il vient :
On peut observer que f varie en fonction de l'enrichissement et de la modération.
Simplifications Après division haut et bas par , il vient :
avec
On pose, comme dans le cas du facteur η :
termes sans dimension qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement ou de la modération .
Formule simple
avec :
Applicable pour
Numériquement : (cf. tableau en fin d'article) Termes de la formule simplifiée donnant f :
Résultat : Pour un enrichissement moyen typique de 2,283 % en masse soit 2,312 % en noyaux un rapport de modération atomique moyen Rm typique de 4,338, f ≈ 0,9216
Évaluation simplifiée du facteur p
Liminaires La relation générale se simplifie un peu en considérant qu'un seul groupe de noyaux capturant : l'uranium 238 de concentration , ce qui est le cas dans un cœur neuf ne contenant pas de plutonium. = Intégrale effective de capture résonnante en ralentissement de l'uranium 238
exprime la balance entre deux termes : Le numérateur, uniquement dépendant de est une fonction croissante de ; plus il y a d'atomes d'uranium 238 plus il y a de captures en ralentissement des neutrons. Le dénominateur, uniquement dépendant de , est une fonction croissante de ; plus il y a d'atomes d'hydrogène moins il y a de chances pour qu'un neutron soit capturé avant qu'il soit thermalisé.
La modélisation de la modération via le terme préférentiellement à rend indépendantes les variables et . Ainsi dans le cas typique d'une variation d'enrichissement à rapport volumique de modération constant, façon pratique de réaliser les choses en réacteur à eau, le nombre d'atomes d'uranium total n'est pas changé et le terme reste constant.
Corrélations On peut alors appliquer les deux relations empiriques suivantesNaudet R Le phénomène d'Oklo, AIEA, PDF, 3 pages. Reuss P (1996), Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires, INSTN/UERTI, Saclay, septembre 1996, 32. : , avec : en at/cm, et, en barn