En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme :

comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les sont égaux à 1Les dénominateurs d'une fraction continue simple sont usuellement notés , contrairement à ceux d'une fraction continue généralisée où ils sont le plus souvent notés , les désignant alors les numérateurs..

Notations Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques :

où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.

Des notations plus compactes sont employées :

..

Carl Friedrich Gauss utilisa une notation rappelant la notation Σ des séries ou Π du produit infini :

où la lettre est l'initiale de , signifiant « fraction continue » en allemand.

Dans la suite, on adopte l'écriture d'Alfred Pringsheim :

Transformations de Möbius

L'observation suivante va rendre naturel le calcul des réduites. Les fonctions définies par

sont des composées de fonctions homographiques :

Ainsi par exemple,

Les matrices associées vérifient alors

si bien queCes calculs, purement algébriques, restent valables génériquement, dans le corps de fractions rationnelles (à coefficients rationnels) d'indéterminées , , , ,

où les et sont définis par

Réduites Des formules précédentes découlent celles sur les numérateurs et dénominateurs des réduites, généralisant celles des réduites d'une fraction continue simple :

(1) est l'évaluation de en 0. (2) résulte de , en calculant la fonction inverse de ρ. (3) se déduit des formules matricielles, en calculant des déterminants puisque le déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants de chaque matrice.

Conversions

Si est une suite de complexes non nuls alors

c'est-à-dire que ces deux fractions continues ont mêmes réduites.

En particulier : si tous les sont non nuls alors, en choisissant et , on se ramène à une fraction continue ordinaire : si tous les sont non nuls, on peut construire de même une suite telle que en posant et pour , .

Ces deux conversions sont extrêmement utiles dans l'analyse du problème de convergence.

Une autre, également découverte par Euler L. Euler, De fractionibus continuis dissertatio, 1744, § 25., permet de compacter une fraction continue simple ayant une « quasipériode » de longueur paire 2r en une fraction continue généralisée « presque » simple — ou inversement, de développer certaines fractions généralisées en fractions simples — en appliquant r fois la formule suivante :

l'égalité signifiant ici que pour tout entier naturel , la réduite d'indice k de la fraction généralisée de droite est égale à celle d'indice de la fraction simple de gauche.

En notant

on a

donc

On conclut en appliquant à 0 les transformations de Möbius correspondantes et en remarquant que celle qui correspond à P fixe 0.

(La contrainte de parité sur la quasipériode s'explique par : .)

Équation du second degré

thumb|L'Algebra de Raphaël Bombelli contient la première fraction continue connue en Europe, elle correspond à celle donnée en exemple dans ce paragraphe. Un exemple d'illustration de l'arrivée naturelle d'une fraction continue généralisée est l'équation du second degré. Étudions le cas particulier, correspondant à celle de BombelliR. Bombelli, L'Algebra, 1572, ., la première connue en Europe :

En remplaçant x par sa valeur, on obtient, comme valeur de x :

En notation de Pringsheim, la fraction ƒ prend la forme suivante :

Un calcul manuel montre que ses premières réduites sont 6, 20/3, 33/5, 218/33, 720/109. On démontre que cette suite tend vers une des deux racines : celle égale à 3 + . À l'époque de Bombelli, l'intérêt principal de cette fraction continue était d'offrir une méthode d'extraction de racine : le calcul de la fraction permet d'approcher avec toute la précision souhaitée.

Pour une solution d'une équation du second degré arbitraire, Euler écrit le même développement L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I, chap. 18.. On peut montrer ( article détaillé) que si l'équation a une racine double non nulle ou deux racines de modules distincts, cette fraction continue généralisée tend vers la racine de plus grand module mais que sinon, la fraction continue n'est pas convergente.

thumb|Leonhard Euler calcule le premier développement en fraction continue généralisée d'une fonction.

Développements en fractions continues généralisées de et de La fraction continue de n'offre aucune régularité donc son calcul est inextricable. Ce nombre admet en revanche de multiples développements en fractions continues généralisées. La première apparition d'une telle fraction est la formule de Brouncker :

Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « Formule de fraction continue d'Euler », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction Arctangente. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions. De même, Euler a développé la fonction exponentielle en une fraction continue généralisée d'une forme appropriée :

dont on obtient :

Voir la .

Il obtient également la fraction continue simple :

donnant :

Critère d'irrationalité

On en déduit par exemple l'irrationalité de , démonstration due à Lambert en 1761.

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Continuant Approximant de Padé Fraction continue d'un irrationnel quadratique Développement en cotangente continue de Lehmer Fraction continue de Rogers-Ramanujan Et, concernant la convergence, Constante de Khintchine Constante de Lévy Problème de convergence Théorème de Lochs Théorème de Śleszyński-Pringsheim

Liens externes

Un calculateur en ligne de fraction continue Une illustration graphique de l'algorithme d'Euclide itéré pour le calcul d'une fraction continue (avec Cinderella). , donnant des exemples comme

Bibliographie Roger Descombes, Éléments de théorie des nombres, PUF, 1986 Le Petit Archimède, Numéro spécial

Marc Guinot, Arithmétique pour amateurs. Vol. 4 : Lagrange et Legendre, Aléas, 1996 Alain Faisant, L'équation diophantienne du second degré, Hermann, 1991

Jean Trignan, Introduction aux problèmes d'approximation : fractions continues, différences finies, Éd. du Choix, 1994 Bulletin de l'APMEP Georges Valiron, Théorie des fonctions, Masson, Paris, 1966, Notions sur les fractions continues arithmétiques

Catégorie:Fraction continue Catégorie:Analyse réelle Continue Catégorie:Leonhard Euler