En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Śleszyński-Pringsheim donne des conditions de convergence de certaines fractions continues généralisées. Il fut découvert par Ivan Śleszyński. puis par Alfred Pringsheim.. à la fin du dix-neuvième siècleWolfgang Joseph Thron a découvert des indices montrant que Pringsheim était au courant des résultats de Śleszyński avant de publier son article ; comparer et avec . D'ailleurs, selon , . Voir plus généralement la critique, sur l'habitude qu'avait Pringsheim de ne pas créditer ses prédécesseurs, dans ..

Énoncé Soient a et b, pour n = 1, 2, 3…, des nombres complexes tels que |b| ≥ |a| + 1 pour tout n, et soient ƒ les réduites de la fraction continue généralisée

La fraction converge absolument, c'est-à-dire que la série numérique suivante est absolument convergente : Les modules des réduites ƒ sont strictement inférieurs à 1.. Le cas limite |ƒ| = 1 a lieu si et seulement si les trois conditions suivantes sont réunies : |b| = |a| + 1 pour tout n ; tous les a/(bb) sont des réels négatifs ; la série est divergente.Dans ce cas, la valeur de la fraction est

Corollaires On peut déduire d'autres critères de convergence de celui de Śleszyński-Pringsheim, parmi lesquels.. :

Théorème de Worpitzky

Pour tous complexes a, a, a… de modules inférieurs ou égaux à 1/4, la fraction continue généralisée

converge, et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1/2.

Ce théorème, publié en 1865 par Julius Worpitzky, .., passe pour avoir été le premier critère de convergence concernant des fractions continues à coefficients complexes..

C'est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions :

Autre critère de Pringsheim Pringsheim a formulé le corollaire suivant de « son » théorème et .. :

Pour tous complexes b, b, b… vérifiant, pour tout entier i > 0

la fraction continue régulièreUne fraction continue est dite régulière si tous les a sont égaux à 1. suivante converge :

Ce critère est un cas particulier du théorème de Śleszyński-Pringsheim, d'après l'équivalence de fractions :

Il s'applique par exemple si tous les b sont de module au moins 2 ( § Exemples ci-dessous).

Théorème de convergence de Tietze Le théorème de Śleszyński-Pringsheim est complété par certains critères classiques de convergence ou de divergence, parmi lesquels ce théorème de Tietze, le redémontre et confirme (p. 253) que ce critère est, comme l'écrit Tietze, une généralisation d'un résultat de Stolz (Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885), mais signale l'antériorité de Stern, Theorie der Kettenbrüche und ihre Andwendung, 1834... :

Soient a et b, pour n = 1, 2, 3…, des réels tels que pour tout indice n, b ≥ |a| > 0 et même, chaque fois que an+1 < 0, b ≥ |a| + 1. Pour que la fraction associéeconverge, il suffit que les a soient négatifs à partir d'un certain rang, attribue ce critère à . ou que l'une des trois séries suivantes diverge : Si la fraction converge, la limite ƒ des réduites vérifie : 0 < aƒ ≤ |a|, et ne peut être égale à ±1 que si a < 0 pour tout n > 1 et b = |a| + 1 pour tout n > 0. Si les a et b sont entiers alors, sauf dans un cas exceptionnel, la fraction converge et la limite ƒ est irrationnelleCeci généralise un lemme de Lambert formalisé par Legendre : voir § « Résultat de Lambert » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».. Le cas exceptionnel est celui où, à partir d'un certain rang, a < 0 et

Exemples Fractions régulières de période 1

Pour un complexe z (non nul), une étude directe ( article détaillé) montre que la fraction

converge si et seulement si z n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur .

La convergence était prévisible pour z de module supérieur ou égal à 2 par le théorème ou le corollaire de Pringsheim. (et pour z réel positif, par le théorème de Seidel-Stern).

Fractions « négativement régulières » Définition Pringsheim s'intéresse aux fractions qu'il qualifie de « négativement régulières ». Ce sont les fractions de la forme

où les b sont entiers et, pour n > 0, b ≥ 2.

Il s'agit donc de la variante des fractions continues simplesDans , les fractions régulières sont qualifiées de . Elles incluent les fractions simples, dites . Les fractions « négativement régulières » sont appelées . Il est facile de les convertir en fractions régulières dont les dénominateurs partiels sont de signes alternés. obtenue en remplaçant les signes « + » par des signes « – » et en interdisant la valeur 1 pour les b (sauf pour b).

Théorème de représentation Les fractions « négativement régulières » convergent d'après le théorème de Śleszyński-Pringsheim, de même que les fractions simples convergent d'après le théorème de Seidel-Stern.. De plus — de même que les fractions simples infinies sont en bijection avec les irrationnels — les fractions « négativement régulières » infinies sont en bijection avec tous les réels, par le théorème suivant.. :

Caractérisation des rationnels Alors qu'avec les fractions simples, un rationnel se reconnaît à ce que son développement est fini, avec les fractions « négativement régulières », il se reconnaît au fait qu'à partir d'un certain rang, tous les b sont égaux à 2.

Algorithme L'analogue de l'algorithme de développement en fraction simple, pour déterminer les dénominateurs partiels b du développement en fraction négativement régulière d'un réel , est le suivant. Pour tout réel t, notons ⌊t⌋ la partie entière de t et G(t) l'entier ⌊t⌋ + 1. On a donc 1/(G(t) – t) ≥ 1.

On définit alors par récurrence deux suites et par :

Exemples de développements Par exemple, donne les développements en fraction négativement régulière de 1 = 1 + , = , = et = . : Développements de période 1 :en particulier : pour n = 2 : le développement de –1 est un cas limite du théorème de Śleszyński-Pringsheim ; pour n = 2m : Développements de période 2 :en particulier (pour n = 2m)

Notes et références

Liens externes

Catégorie:Fraction continue Sleszynski-Pringsheim