vignette|Portrait d'Augustin Louis Cauchy En analyse mathématique, le test de condensation de Cauchy, démontré par Augustin Louis CauchyA.-L. Cauchy, Cours d'Analyse, 1821 — Œuvres complètes, , t. 3, 1897, chap. VI, § 2 ., est un critère de convergence pour les séries : pour toute suite réelle positive décroissante , on a
et plus précisémentPour une démonstration, voir par exemple .
Exemples d'applications Pour tout réel positif , la série de Riemanna même comportement que sa « série condensée »Cette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si .Pour , c'est la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique ; la série de Bertrandconverge si et seulement si sa « condensée »converge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si ; il en est de même pour la sérieetc..
Généralisation On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1. Plus généralement, . a montré en 1909, chap. III, . que pour toute suite réelle positive décroissante , les séries
sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs et telles que soit strictement croissante et et soient bornées. (Schlömilch avait établi. le cas particulier , .)
Notes et références
Catégorie:Série (mathématiques) Cauchy Catégorie:Augustin Louis Cauchy