En algèbre, un corps quadratiquement clos est un corps commutatif dans lequel tout élément possède une racine carrée..
Exemples Tout corps algébriquement clos est quadratiquement clos. La clôture quadratique d'un corps (voir exemples ci-dessous) est — par définition — quadratiquement close.
Propriétés Pour tout corps F, les propriétés suivantes sont équivalentes : F est quadratiquement clos ; son est égal à 1, c'est-à-dire que toute forme quadratique sur F de dimension > 1 est isotrope ; son anneau de Witt-Grothendieck est isomorphe à ℤ par le morphisme dimension. ; son groupe de Witt est d'ordre 2.
Tout corps quadratiquement clos est à la fois pythagoricien et non formellement réel mais la réciproque est fausse (penser aux corps de caractéristique 2).
Soit E/F une extension finie avec E quadratiquement clos. Alors, ou bien −1 est un carré dans F et F est quadratiquement clos, ou bien −1 n'est pas un carré dans F et F est euclidien (c'est une conséquence du théorème de Diller-Dress)..
Clôture quadratique Pour tout corps F, il existe une « plus petite » extension quadratiquement close de F. Cette extension, qui est donc unique à isomorphisme près, est appelée « la » clôture quadratique de F. On peut la construire comme sous-corps de « la » clôture algébrique Falg de F, en prenant la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur F dans Falg. Lorsque la caractéristique de F est différente de 2, c'est donc la réunion des 2-extensions finies de F dans Falg, c'est-à-dire toutes les extensions galoisiennes de degré égal à une puissance de 2.
Par exemple : la clôture quadratique de tout corps euclidien F est l'extension quadratique F() (elle est algébriquement close si et seulement si F est réel clos) ; la clôture quadratique du corps fini F est — dans sa clôture algébrique qui est la réunion des F pour tout entier naturel m — la réunion des F ; la clôture quadratique de ℚ est — dans — le sous-corps des nombres complexes constructibles..
Notes et références
Catégorie:Théorie des corps