En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe . Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.
Dans cet article, est un arc orienté dans ℝ, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée , avec .
Intégrale d'un champ scalaire
On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu comme l'intégrale de Stieltjes de par rapport à l'abscisse curviligne (longueur de l'arc restreint à ). :
c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de tend vers 0, des sommes de Riemann associées : où la subdivision pointée est notée : .
Cette définition ne dépend pas du paramétrage de , ni de l'orientation.
La longueur de l'arc est l'intégrale curviligne de la fonction constante .
Si est de classe C,
Analyse vectorielle
On définit également la circulation le long de d'un champ vectoriel continu comme une intégrale de Stieltjes :
où désigne le produit scalaire..
Cette définition ne dépend pas du paramétrage de mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).
On peut reformuler cette définition en notant la 1-forme différentielle « produit scalaire par » : si est une 1-forme différentielle continue sur le support de , on définit l'intégrale curviligne de le long de par :
où est le crochet de dualité.
Si est de classe C,
Analyse complexe Pour n = 2 et en identifiant ℝ au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue comme l'intégrale de la 1-forme différentielle :
Si est de classe C,
Lorsque est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation :
Exemple Soit la fonction , et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par , avec parcourant . L'intégrale correspondante est
Propriétés Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.
Références
Articles connexes Théorème de Stokes Intégrale de surface Méthodes de calcul d'intégrales de contour
Catégorie:Analyse complexe Catégorie:Analyse vectorielle Catégorie:Théorie de l'intégration