Un groupe de papier peint (ou groupe d'espace bidimensionnel, ou groupe cristallographique du plan) est un groupe mathématique constitué par l'ensemble des symétries d'un motif bidimensionnel périodique. De tels motifs, engendrés par la répétition (translation) à l'infini d'une forme dans deux directions du plan, sont souvent utilisés en architecture et dans les arts décoratifs. Il existe 17 types de groupes de papier peint, qui permettent une classification mathématique de tous les motifs bidimensionnels périodiques.
En termes de complexité, les groupes de papier peint se situent entre les groupes de frise, simples, et les groupes d'espace tridimensionnels.
Introduction
Motifs répétitifs étudiés dans l’article vignette|gauche|upright=1.5| Surfaces répétitives d’un pavage de Pythagore.
Ici l’expression « surface répétitive » désigne un découpage possible d’un « papier peint » donné, une surface dont les bords ne sont pas nécessairement des segments de droites, telle que l’union infinie de ces surfaces répétitives disjointes : d’intersection vide, reconstitue le papier peint. L’ensemble infini des surfaces répétitives possibles, répétées indéfiniment par un « papier peint » donné, comprendra un ou des “motifs répétitifs” spécifiques de cet article.
Une façon d’inventer une surface répétitive d’un “papier peint” donné à partir d’une autre surface répétitive consiste à la tronquer quelque part, pour ajouter ailleurs un morceau de même superficie afin de créer une autre surface répétitive du même “papier peint”. Par exemple avec un pavage de Pythagore, à partir de la surface répétitive constituée de l’union de deux carrés adjacents de tailles différentes. Le pavage infini en entier est l’union infinie de ces surfaces hexagonales non régulières, comme dans cet autre exemple de pavage de Pythagore.
Dans l’article un « motif répétitif » sera un parallélogramme répétitif d’aire minimale dans une position déterminée sur le papier peint. Cela s’éclaircira grâce au concept de translation gardant invariant un papier peint donné. Avant toute considération sur ces déplacements particuliers associés à un papier peint, précisons qu’un losange est un parallélogramme particulier, et qu’un carré est un losange particulier : les carrés en pointillés sur le pavage de Pythagore sont de la famille des parallélogrammes.
Lignes et couleurs d’un papier peint collé au mur se reproduisent à l’identique quand le regard sur le mur franchit une certaine distance dans une certaine direction, et dans un certain sens ajoute-t-on en mathématiques, car des droites parallèles — dites de même direction — peuvent être parcourues dans un sens ou dans le sens inverse. Autrement dit, le regard effectue une translation sur le papier peint, définie par un vecteur. Cependant la tradition, en géométrie, veut que l’œil qui observe soit fixe, tandis que l’objet géométrique est transformé : son déplacement est une transformation particulière. Aussi dit-on que les translations de l’image transforment en lui-même le pavage infini de Pythagore, ou le garde inchangé.
Premiers exemples de groupes
Les groupes de papier peint classifient les motifs par leur symétrie. Des différences subtiles peuvent placer des formes similaires dans des motifs de différents groupes, et des formes très différentes peuvent être incluses dans des motifs de même groupe.
Considérons l'exemple suivant :
Les motifs A et B possèdent le même groupe de papier peint, appelé p4m dans la notation de l'Union internationale de cristallographie et *442 en notation des orbifolds. Le motif C possède un groupe de papier peint différent, p4g ou 4*2. Le fait que A et B possèdent le même groupe de papier peint signifie qu'ils possèdent les mêmes symétries, malgré des différences de forme, alors que C possède un différent groupe de papier peint, en dépit de similitudes superficielles.
Au sens large, la symétrie d'un motif est l'ensemble des opérations de symétrie qui transforment le motif et dont le résultat est identique au motif de départ. Par exemple, la symétrie de translation est présente dans un motif quand celui-ci peut être déplacé d'une certaine distance finie et apparaît inchangé. Cela est le cas quand on déplace un ensemble régulier de barres verticales dans le sens horizontal, d'une distance égale à l'espacement entre les barres. Le motif (l'ensemble de barres) apparaît inchangé. En réalité, une telle symétrie n'existe que dans un motif qui se répète exactement à l'infini. Un ensemble de barres verticales ne contenant que cinq barres ne possède pas de symétrie de translation : lorsque l'ensemble est déplacé d'un espacement entre deux barres, la barre d'un côté « disparaît » et une autre barre « apparaît » de l'autre côté. En pratique, cependant, la classification en groupes de papier peint est appliquée à des motifs finis et de petites imperfections peuvent être ignorées.
Seules les isométries du plan euclidien peuvent faire partie d'un groupe de papier peint. Par exemple : si on déplace l'exemple B d'une unité vers la droite ou vers le haut, de façon que chaque carré recouvre le carré qui lui était adjacent au départ, le motif final est exactement le même que celui de départ. Ce type de symétrie est une translation. Les exemples A et C sont similaires, sauf que la direction de la plus petite translation est diagonale, et pas horizontale ou verticale ; si on fait tourner l'exemple B de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, autour du centre de l'un des carrés, on obtient à nouveau exactement le même motif. Cette opération est une rotation. Les exemples A et C possèdent également des rotations de 90°, même s'il est plus difficile de trouver le centre de rotation pour l'exemple C ; il est également possible de retourner l'exemple B par rapport à un axe horizontal qui passe par le milieu du motif. Cette opération est une réflexion. L'exemple B possède aussi des réflexions par rapport à l'axe vertical, ainsi qu'aux diagonales. Il en est de même pour le motif A, mais pas pour le motif C, qui ne peut pas être réfléchi par rapport aux diagonales. Si on réfléchit C par rapport à une diagonale, on n'obtient pas le même motif, mais le motif original déplacé d'une certaine distance. C'est la raison pour laquelle le groupe de papier peint des exemples A et B n'est pas le même que celui de l'exemple C.
Historique
La preuve qu'il n'existe que 17 groupes de papier peint a d'abord été fournie par Evgraf Fedorov en 1891, puis démontrée indépendamment par George Pólya en 1924.
Définition
Étant donnée une tuile P du plan euclidien , c'est-à-dire une partie compacte et connexe, un groupe G d'isométries est dit de papier peint pour cette tuile si
où le cercle désigne l'intérieur topologique. Le premier point exprime que la totalité du plan est recouverte de tuiles, le deuxième que les tuiles ne se chevauchent pas (elles se rencontrent sur leur bord). On montre entre autres qu'un tel groupe a une topologie discrète et contient deux translations linéairement indépendantes.
Deux tels sont du même type (du même groupe de papier peint) s'ils sont les mêmes, sauf pour une application affine du plan. Par exemple, une translation du plan entier (et donc une translation des centres de rotation et axes de réflexion) ne change pas le groupe de papier peint. Il en est de même pour un changement d'angle entre les vecteurs de translation, tant que ce changement n'ajoute ou n'ôte pas de symétrie (ce n'est le cas qu'en l'absence d'axes de réflexion ou de réflexion glissée, et si l'ordre des rotations n'est pas supérieur à 2). Contrairement au cas tridimensionnel, il est possible de restreindre ces transformations affines à celles qui conservent l'orientation. Ainsi, d'après le théorème de Bieberbach, tous les groupes de papier peint sont des groupes abstraits distincts (contrairement aux groupes de frise, dont deux sont isomorphes à ).
Les motifs bidimensionnels avec une double symétrie de translation peuvent être catégorisés d'après leur type de groupe de symétrie.
Isométries du plan euclidien Les sont partagées en quatre catégories : les translations, notées T, où v est un vecteur de , qui déplacent tout le plan en appliquant le vecteur de déplacement v ; les rotations, notées R, où C est un point du plan appelé « centre de rotation » et θ est l'« angle de rotation » ; les réflexions, notées F, où L est une ligne dans , dont l'effet est de réfléchir le plan par rapport à la ligne L appelée « axe de réflexion » ou « axe miroir » ; les réflexions glissées, notées G, où L est une ligne dans et d une distance. Il s'agit de la combinaison d'une réflexion par rapport à la ligne L et d'une translation le long de L de la distance d.
Condition sur les translations indépendantes Le fait qu'un groupe de papier peint doit contenir deux translations de vecteurs linéairement indépendants implique qu'il existe deux vecteurs v et w de linéairement indépendants, tels que le groupe contienne T et T.
Le but de cette condition est de différencier les groupes de papier peint des groupes de frise, qui possèdent une translation, mais pas deux de vecteurs linéairement indépendants, et de les différencier aussi des groupes ponctuels discrets de symétrie bidimensionnels, qui ne possèdent pas du tout de translation. Autrement dit, les groupes de papier peint classifient des motifs qui se répètent dans deux directions distinctes, au contraire des groupes de frise, qui ne s'appliquent qu'aux motifs ne se répétant que dans une seule direction.
Condition de caractère discret La condition de caractère discret signifie qu'il existe un nombre réel positif ε tel que pour chaque translation T du groupe, le vecteur v a pour longueur au moins ε (sauf dans le cas où v est un vecteur nul).
Le but de cette condition est d'assurer que le groupe ait un domaine fondamental compact, c'est-à-dire qu'il ne s'applique qu'à des motifs de maille non nulle (d'aire finie), qui se répète dans le plan.
Une conséquence importante et non triviale de la condition de caractère discret, combinée à la condition sur les translations de vecteurs linéairement indépendants, est qu'un groupe de papier peint ne peut contenir que des opérations de rotation d'ordre 1, 2, 3, 4 et 6 : chaque rotation dans le groupe doit être d'angle 360°, 180°, 120°, 90° ou 60°. Il s'agit du théorème de restriction cristallographique, qui peut être généralisé pour d'autres dimensions.
Notation des groupes de papier peint
Notation cristallographique Comme les opérations de symétrie des groupes de papier peint sont également présentes dans les groupes d'espace, il est possible d'utiliser une notation similaire à la notation de Hermann-Mauguin pour les groupes d'espace, développée par Carl Hermann et Charles Victor Mauguin. Il s'agit de la notation recommandée par l'Union internationale de cristallographie. Un exemple de groupe de papier peint dans cette notation est p31m, avec quatre symboles (lettres ou chiffres) ; la notation d'un groupe de papier peint peut cependant contenir moins de symboles, comme cmm ou pg.