En mathématiques, le produit en couronne est une notion de théorie des groupes. C'est un certain groupe construit à partir de deux groupes, le second opérant sur un ensemble. Il existe en fait plusieurs notions de produit en couronne, voisines mais distinctes. En théorie des groupes, le produit en couronne, outre qu'il fournit divers contre-exemples, permet notamment de décrire les sous-groupes de Sylow des groupes symétriques finis. On le rencontre également en théorie des graphes, comme groupe des automorphismes de certains graphes, entre autres de certains graphes ayant l'aspect d'une couronne. La notion de produit en couronne peut être étendue aux demi-groupes.

Conventions Pour un ensemble X, nous désignerons ici par S et nous appellerons groupe symétrique de X l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe ∘ définie par f ∘ g : X → X : x ↦ f(g(x)). Cette définition convient à l'étude des actions à gauche d'un groupe sur un ensemble. Le groupe opposé du groupe noté ici S convient à l'étude des actions à droite. Quand nous parlerons d'une action d'un groupe sur un ensemble, il s'agira d'une action à gauche. On sait qu'à une action à gauche d'un groupe G sur un ensemble X correspond naturellement un homomorphisme de groupes de G dans S si bien qu'on peut voir l'un comme l'autre et vice-versa. Pour une permutation α d'un ensemble X et un élément x de X, il nous arrivera d'écrire αx au lieu de α(x). Pour deux permutations α et β d'un même ensemble E, il nous arrivera d'écrire αβ au lieu de α ∘ β, ce qui revient à noter multiplicativement le groupe S. On dira qu'une famille d'éléments d'un groupe G est de support fini si les éléments y de Y tels que a ≠ 1 sont en nombre fini. Une telle famille est une application de Y dans (l'ensemble sous-jacent à) G. Autrement dit on dira qu'une application f de Y dans G est de support fini si les éléments y de Y tels que f(y) ≠ 1 sont en nombre fini. Si G est un groupe et Y un ensemble, on notera G le produit direct (externe) de la famille, indexée par Y, de groupes tous égaux à G. Donc G a pour éléments les familles, indexées par Y, d'éléments de G et est donc le groupe des applications de Y dans G, la loi de groupe étant la «multiplication terme à terme». On notera G(Y) la somme restreinte (externe) de la même famille, indexée par Y, de groupes tous égaux à G. Donc G(Y) a pour éléments les familles de support fini, indexées par Y, d'éléments de G et est donc le groupe des applications à support fini de Y dans G, la loi de groupe étant toujours la «multiplication terme à terme». Si l'ensemble Y est fini, le produit direct et la somme restreinte sont identiques. G étant un groupe, nous noterons λ(G) l'image de G par l'homomorphisme

de dans . Pour un élément g de G, λ est la translation à gauche par g dans G. Donc λ(G) est un groupe de permutations de (l'ensemble sous-jacent de) G et, d'après le théorème de Cayley, le groupe λ(G) est isomorphe à G. Pour un groupe G, nous appellerons action régulière de G l'action de G sur son ensemble sous-jacent par translations à gauche.

Produit en couronne de deux groupes de permutations Soient G un groupe de permutations d'un ensemble X non vide et H un groupe de permutations d'un ensemble Y non vide.

Pour tout élément de S et tout élément y de Y, convenons de noter la permutation de l'ensemble X × Y (produit cartésien) définie comme suit : pour tout élément x de X et tout élément y' de Y, si y' = y; si y' ≠ y. Pour tout élément η de S, convenons de noter la permutation de l'ensemble X × Y définie comme suit :

(Les notations et ne sont pas standard.)

Pour tout élément y de Y, définit un homomorphisme injectif du groupe G dans le groupe S X × Y. Si nous désignons par l'image de G par cet homomorphisme, définit donc un isomorphisme du groupe G sur le sous-groupe GY,y de S X × Y. De même, définit un isomorphisme du groupe H sur un sous-groupe de S X × Y, sous-groupe que nous noterons

Le produit en couronne de G et H (ou de G par H) est par définitionDéfinition conforme à . le sous-groupe de SX×Y engendré par les , où y parcourt Y, et On le note souvent G ≀ H, mais il existe d'autres notations. Nous conviendrons de n'utiliser ici que la notation G ≀ H, réservant d'autres notations à des versions du produit en couronne qui seront présentées plus loin.

Soient G, H des groupes de permutations d'ensembles non vides. On vérifie facilement la propriété suivante : Si G et H sont transitifs, G ≀ H est transitifVoir , ou encore , Springer, éd., tirage de 1999, p. 173.. On a également une propriété de quasi-associativité : Si G, H et K sont trois groupes de permutations d'ensembles non vides, les groupes de permutations (G ≀ H) ≀ K et G ≀ (H ≀ K) sont semblables. Plus précisément, si G, H et K sont respectivement des groupes de permutations de X, de Y et de Z, si f désigne la bijection ((x, y), z) ↦ (x, (y, z)) de (X × Y) × Z sur X × (Y × Z), si f* désigne l'isomorphisme s ↦ f ∘ s ∘ f−1 de S(X × Y) × Z sur SX × (Y × Z), alors G ≀ (H ≀ K) est l'image de (G ≀ H) ≀ K par f*.

Dans les hypothèses ci-dessus sur G et sur H, le sous-groupe B de G ≀ H engendré par les , où y parcourt Y, est appelé le groupe de base du produit en couronne G ≀ H. Donc G ≀ H est engendré par B et par . Si est un élément de G et y un élément de Y, si η est un élément de H, alors

d'où on tire que B est normal dans G ≀ H et que G ≀ H est produit semi-direct interne de B par

On vérifie que les sous-groupes , où y parcourt Y, sont en somme restreinte, c'est-à-dire que B est somme restreinte interne de la famille Donc, étant donné une famille de support fini d'éléments de G, on peut définir sans ambiguïté

où le produit correspond à la loi de groupe de S X × Y. De plus,

définit un isomorphisme de G(Y) sur B.

Il résulte de ce qui précède que si Y est fini, l'ordre de G ≀ H est donné par

Si G et H sont deux groupes quelconques (qu'on ne suppose pas opérer sur des ensembles), on appelle produit en couronne régulierRegular ou standard () dans la terminologie anglo-saxonne. Régulier dans . de G par H le produit en couronne λ(G) ≀ λ(H) (où λ est défini comme dans la section Conventions). On le note parfois . On observera que, contrairement à ce qui est le cas du produit en couronne ≀ , n'est pas forcément isomorphe comme groupe à (On le tire facilement de la formule (2) donnant l'ordre du produit en couronne G ≀ H quand Y est fini.)

Produit en couronne restreint d'un groupe par un groupe opérant Définition D'après (1), l'action de sur B par conjugaison se décrit comme suit : pour tout élément de G(Y),

autrement dit

De façon générale, si G est un groupe (et non forcément un groupe de permutations), si H est un groupe opérant sur un ensemble Y (sans être forcément un groupe de permutations), appelons action par décalage de H sur G(Y) (associée à l'action de H sur Y) l'action de H sur G(Y) par automorphismes définie comme suit :

On tire de (3) que si G est un groupe de permutations d'un ensemble X, si H est un groupe de permutations d'un ensemble Y, alors (4) G ≀ H est isomorphe au produit semi-direct externe G(Y) ⋊ H de G(Y) par H relativement à l'action par décalage de H sur G(Y) (cette action par décalage étant définie à partir de l'action naturelle de H).

Cela nous suggère cette définition plus générale : pour un groupe G et pour un groupe H opérant sur un ensemble non vide Y, le produit en couronne restreint de G par H (relativement à l'action en question de H sur Y) est le produit semi-direct externe G(Y) ⋊ H de G(Y) par H relativement à l'action par décalage de H sur G(Y) (associée à l'action de H sur Y).

On voit que ce produit en couronne ne dépend pas d'une action de G sur un ensemble. Il est appelé « restreint » parce qu'il est construit à partir de la somme restreinte G(Y). Il est souvent noté G ≀ H, mais pour le distinguer du produit en couronne de deux groupes de permutations, nous le noterons dans le présent article . Notre résultat (4) signifie donc que si G et H sont des groupes de permutations, G ≀ H est isomorphe (comme groupe) à , défini relativement à l'opération naturelle de H.

On dit que le sous-groupe de est le groupe de base du produit en couronne restreint.

Comme l'observent plusieurs auteurs ; I.M. Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, p. 73., les notations courantes du produit en couronne restreint (G ≀ H, etc.) manquent de précision, puisqu'elles omettent l'opération de H sur Y, qui est un élément essentiel de la définition.

Version permutationnelle du produit en couronne restreint

Soit G un groupe opérant sur un ensemble non vide X, soit H un groupe opérant sur un ensemble non vide Y. Pour la simplicité des expressions dans ce qui suit, nous allons noter les éléments de G(Y) comme des applications plutôt que comme des familles. Désignons par φ l'homomorphisme de G dans S correspondant à l'action de G sur X et par ψ l'homomorphisme de H dans S correspondant à l'action de H sur Y. Si les deux actions en question sont fidèles, G est isomorphe à φ(G) et H à ψ(H) et on montre que

(où, pour dans S, pour y dans Y et pour η dans S, et ont le sens qui leur a été donné dans la précédente section) définit un isomorphisme du produit en couronne restreint sur le produit en couronne φ(G) ≀ ψ(H) des groupes de permutations φ(G) et ψ(H). (Comme noté dans la section précédente, ne pose pas de problème.) On dit que φ(G) ≀ ψ(H) est la version permutationnelle du produit en couronne restreint .

Produit en couronne complet Soit G un groupe, soit H un groupe opérant sur un ensemble non vide Y. Dans la définition du produit en couronne restreint , rien n'empêche de remplacer la somme restreinte G(Y) par le produit direct G et l'action par décalage de H sur G(Y) par l'action par décalage de H sur G :

On obtient ainsi la définition suivante : pour un groupe G et pour un groupe H opérant sur un ensemble Y, le produit en couronne complet de G par H (relativement à l'action en question de H sur Y) est le produit semi-direct externe G ⋊ H de G par H relativement à l'action par décalage de H sur G.

Nous noterons ce produit en couronne complet. Le produit en couronne restreint est sous-groupe de . Si l'ensemble Y est fini, et sont identiques.

On ne peut pas calquer sur le cas restreint une « version permutationnelle » du produit en couronne complet, car si une famille d'éléments d'un groupe n'est pas de support fini, le produit de cette famille d'éléments n'est pas défini.

Exemples (Kaloujnine. Voir aussi , ou encore .) Soient p un nombre premier et r un nombre naturel. Les p-sous-groupes de Sylow de sont isomorphes au produit en couronne itéré

de r groupes de permutations égaux à . (Vu la quasi-associativité de ≀, il n'est pas nécessaire de préciser un parenthésage du produit en couronne itéré.) Plus généralement, si p est un nombre premier, si n est un nombre naturel, si l'écriture de n en base p est a0 + a p + ... + a p, si nous désignons par W(s, p) le produit en couronne itéré de s groupes de permutations égaux à , alors les p-sous-groupes de Sylow de S sont isomorphes au produit direct de a copies de W(1, p), de a copies de W(2, p), ... et de a copies de W(r, p). On entendra ici par « graphe » un graphe non orienté (au sens de la théorie des graphes). Considérons d'abord le graphe obtenu comme suit.