En mathématiques, les inégalités de Maclaurin forment une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.
Elles sont parfois dénommées aussi "inégalités de Newton", dont elles sont une conséquence.
Énoncé
Soient des nombres réels strictement positifs et, pour , les moyennes définies par
Le numérateur de ce quotient est la fonction symétrique élémentaire de degré en les variables , c'est-à-dire la somme de tous les produits de d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.
Alors,
et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les sont égaux.
Exemples
L'inégalité est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des nombres.
Pour , les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels )
Démonstration Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant S = 1) En effet,
se simplifie en
qui équivaut à
Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.
Références
Articles connexes Inégalité de Muirhead Inégalités de Newton Moyenne d'ordre p
Catégorie:Analyse réelle Maclaurin