En mathématiques, le théorème de Lusin ou Luzin est, pour l'analyse réelle, une autre forme du second principe de Littlewood, « toute fonction est presque continue ». Il a été énoncé en 1903 par Lebesgue, établi en 1905 par Vitali.Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, de la éd. en anglais, Springer, 1994. et redécouvert en 1912 par Nikolai Lusin..
Il énonce que toute fonction mesurable possède une restriction à une grande partie de son domaine de définition qui est continue.
Énoncé Pour un intervalle [a, b], soit f : [a, b] → ℂ une fonction mesurable. Alors pour tout ε > 0, il existe un compact E ⊂ [a, b] tel que la restriction à E de f est continue (pour la topologie induite sur E) et la mesure de Lebesgue du complémentaire de E est inférieure à ε.
Exemple Sur le segment [0, 1], la fonction indicatrice des rationnels est mesurable mais discontinue en tout point. Cependant, pour tout ε > 0, en choisissant une énumération (r) des rationnels de ce segment et en prenant le complémentaire (dans [0, 1]) de la réunion des intervalles ]r – 2ε, r + 2ε[, on obtient un compact E dont le complémentaire est de mesure inférieure à ε et la restriction de la fonction à E est constamment nulle donc continue.
Démonstration Puisque les fonctions continues sont denses dans L([a, b]), il existe une suite (g) de fonctions continues telle que g → f dans L. De cette suite, on peut extraire une sous-suite (g) telle que g → f presque partout. En utilisant le théorème d'Egoroff, on a g → f uniformément sauf sur un ensemble de mesure aussi faible que voulue. Comme l'ensemble des fonctions continues est fermé par convergence uniforme, cela termine la démonstration.
Notes et références
Lusin Catégorie:Théorie de la mesure sur un espace topologique