L’analyse géométrique, calcul géométrique, analyse multivectorielle, ou encore calcul multivectorielLe manque de sources francophones, ainsi que l'existence de plusieurs termes même parmi les sources anglo-saxonnes, fait qu'il est difficile de choisir une expression unique pour nommer cette discipline. calcul géométrique est une traduction plus littérale pour l'expression anglaise , tandis que analyse géométrique a le mérite de mettre en évidence l'analogie avec l'analyse vectorielle., est une branche des mathématiques qui est aux structures d'algèbres géométriques ce que l'analyse vectorielle est aux espaces vectoriels. En substance, l'analyse géométrique considère des fonctions définies sur un espace vectoriel et à valeurs dans l'algèbre géométrique sous-tendue par cet espace, et s'intéresse aux limites exhibées par ces fonctions dans le cadre du calcul infinitésimal.
Structure algébrique induite L'ensemble des fonctions de dans n'est pas, a priori, une algèbre géométrique. Cependant il peut être doté d'une telle structure en plaquant, point par point, la structure algébrique de , et en associant à tout élément de un élément de à valeur constante.
Il est trivial de vérifier que muni d'une telle structure constitue une algèbre géométrique. Il n'est par ailleurs pas difficile de se convaincre que l'opération constitue une injection ainsi qu'un morphisme d'algèbres. Ce morphisme donne un sens à une expression telle que:
où et appartiennent à tandis que appartient à .
De la même façon, tout opérateur qui agit sur , c'est-à-dire qui transforme une fonction à valeurs multivectorielles en un autre fonction à valeurs multivectorielles, peut être incorporé à l'algèbre sus-mentionnée, et ce à l'aide d'un plaquage point par point similaire. Un tel plaquage sera utilisé pour étudier les propriétés algébriques des opérateurs définis dans cet article.
Dérivée directionnelle Définition
Propriétés
(règle du produit) (invariance de grade) (covariance). (règle dite d'enchainement scalaire, où et )
, (où est un multivecteur constant)
(développement de Taylor)
Différentielle
Définition
Propriétés
Pour suffisamment petit,
Dérivée vectorielle
Définition Il existe plusieurs manières de définir la dérivée vectorielleCertaines sources semblent utiliser simplement le terme gradient, mettant en évidence l'analogie avec le gradient en analyse vectorielle. Dans par exemple, Hestenes n'utilise pas une seule fois l'expression ., et avec elle l'opérateur de dérivation vectorielle. Chacune présente des avantages et des inconvénients. Dans cette section les principales méthodes de définition sont présentées et sont assumées équivalentes. Dans tous les cas, la dérivée vectorielle d'une fonction est l'application de l' opérateur de dérivation vectorielle sur cette fonction, ou inversement, selon que ce qui est défini tout d'abord est la dérivée vectorielle ou l'opérateur de dérivation vectorielle.
À partir d'opérateurs de dérivation directionnelle
À partir de différentielles
Définition de Hestenes
Propriétés Comportement algébrique
Caractérisation algébrique de la dérivée directionnelle
Notes et références
Annexes
Articles connexes Analyse vectorielle Algèbre géométrique
Liens externes Vector Differential Calculus, Eckhard Hitzer. , David Hestenes. Differential forms in Geometric Calculus , David Hestenes.
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