Le théorème de Buchdahl () est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : , où et sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où et sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide. Le rayon est dit rayon de Buchdahl. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart () de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est .

Historique En , Karl Schwarzschild (-) publie successivement deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à fois son rayon de Schwarzschild.

L'éponyme du théorème de Buchdahl est (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en .

Désignations alternatives Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : , (lire en ligne )) et comme la limite de Buchdahl (, , (lire en ligne )).

Expressions L'inégalité s'écrit :

ou , avec : , la masse de l'objet ; , le rayon de l'objet ; , la constante gravitationnelle ; , la vitesse de la lumière dans le vide.

En unités géométriques, c'est-à-dire avec : , l'inégalité s'écrit : , ou .

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Hypothèses Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique et à symétrique sphérique ; son intérieur est décrit par un fluide parfait de densité d'énergie positive et de pression positive, et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale : .

Extensions Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions incluant une constante cosmologique non nulle. Il a été généralisé en gravitation en .

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales . . .

Études

.

Cours d'enseignement supérieur . . . .

Dictionnaires et encyclopédies

Articles connexes Compacité (astronomie)

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