vignette|Un quadrant horaire de type « quadrant ancien » du .
Les quadrants horaires sont des cadrans solaires de hauteur anciens, portables et de la famille des quadrants.
La du Soleil étant prise, ils permettent, à l'aide d'un fil à plomb et d'un pointeur, de lire l'heure sur le corps de l'instrument où est tracé un réseau de lignes horaires.
Au préalable à la lecture de l'heure, il convient d'effectuer quelques réglages simples en fonction du type de quadrant utilisé et de la date de l'observation.
Ils sont connus en Occident depuis le Moyen Âge, mais leur origine se trouve assurément dans les pays arabo-musulmans (une mention en ayant été trouvée dans un manuscrit égyptien daté probablement du ou ).
Approche élémentaire
Description L'instrument est composé de quelques éléments de base que l'on retrouve sur pratiquement tous les quadrants horaires. Ce sont : vignette|400 px|Dessin schématique d'un quadrant ancien simple.
le corps du quadrant, ayant la forme générale d'un quart de cercle, sur lequel on trouve un secteur gradué de 90° vers son bord extérieur : le limbe ; le système de visée comprenant deux s à œilleton fixées sur un côté du quadrant ; un fil à plomb qui permet de vérifier la verticalité de l'instrument lors de la visée du Soleil (qui ne doit pas être regardé en face) et qui indique sur le limbe la hauteur de l'astre du jour ; un réseau d'heures tracé sur le corps du cadran. Ce réseau, qui dépend de la méthode de construction choisie, est de forme variable et les heures, suivant l'époque, peuvent être des heures temporaires et/ou des heures équinoxiales ; une petite perle-index, ajustée « glissant serré » sur le fil à plomb, après un réglage adéquat, indiquera, lors de la visée du Soleil, l'heure d'observation sur le réseau horaireD'après ..
Sur la figure ci-contre le réseau horaire (en rouge) représente les six heures temporaires du matin, l'heure de midi étant la sixième heure ; les heures de l'après-midi se superposent par symétrie sur les heures du matin, soit par exemple les couples 5-7, 3-9, 1-11. La perle coulissante (en vert) indique que l'on est au début de la deuxième heure du matin ou un peu avant la onzième heure de l'après-midi.
Réglage La hauteur du Soleil varie en fonction de la latitude, de la déclinaison solaire et de l'heure de l'observation. La formule suivante donne cette hauteur : vignette|400 px|Etapes de réglage d'un quadrant ancien simple avant de prendre l'heure. (1)
où h est la hauteur angulaire du Soleil, φ la latitude du lieu, δ la déclinaison du Soleil et H l'angle horaire du Soleil (H vaut 0° à midi et par exemple 15° à 13 h…). La hauteur du Soleil à midi où H = 0° est donnée par : (2)
Le réglage de la perle s'effectue sur la ligne horaire de midi en tenant compte de la latitude du lieu d'observation et de la déclinaison solaireEn gnomonique, à une date donnée, la déclinaison solaire est considérée comme constante ; sa valeur est celle du midi solaire du jour considéré.. Pour une latitude de 47° et pour une déclinaison actuelle de 23°26', arrondie à 23,5°, qui correspond à la date du solstice d'été vers le Il existe des tables donnant la correspondance entre la déclinaison solaire et les calendriers civil et/ou zodiacal ; on verra plus loin comment se dispenser de ces tables., on procédera au réglage de la façon suivante : déterminer la hauteur méridienne du Soleil à la date considérée, d'après l'expression (2) : hm = 90 - 47 + 23,5 = 66,5° ; tendre le fil sur la graduation 66,5° ; amener la perle sur le demi-cercle de la heureD'après ..
Lecture de l'heure Après réglage, il suffit de viser le Soleil avec le quadrant. 400px|vignette|Lecture de l'heure avec son principe. Le fil à plomb, vertical, indique sur le limbe la hauteur du Soleil et la perle donne l'heure (ici temporaire), soit h = 15,5° relevée un peu après la première heure du matin ou un peu avant la onzième heure de l'après-midi.
On peut remarquer que le lieu de la perle lors du déplacement journalier du fil à plomb est un arc de cercle centré en O et que son rayon correspond à sin h que l'on retrouve dans (1) expression de la hauteur du Soleil.
Ainsi, sur la figure, où tous les demi-cercles horaires sont centrés sur la droite OD, on aura : pour la sixième heure, si l'on considère le triangle rectangle OAB inscrit dans le demi-cercle de diamètre OB pris égal à 1 on a : l'angle OBA = hm comme angles à côtés perpendiculaires et OA = sin hm ; pour la quatrième heure, dans le triangle OCD, on aura l'angle ODC = h4 et OC = sin h4. Quelle que soit l'heure considérée, la valeur sin h caractérise le lieu de déplacement de la perleD'après ..
Cette propriété se retrouvera sur tous les types de quadrants présentés.
Typologie Les quadrants horaires sont d'origine arabe, mais les sources manuscrites sont rares et elles ont été publiées tardivement. Les quadrants arabes ne seront abordés ici qu'après étude des différents types d'instruments connus en Occident.
Les plus anciennes mentions occidentales des cadrans horaires datent du Moyen Âge central qui s'étend du aux . Ils sont assez bien documentés mais leur désignation était assez floue du fait de l'absence de règles typologiques.
Ce n'est qu'en 1981 qu'Emmanuel Poulle propose une classification en prenant en compte les définitions d'usage des instruments. Cette typologie se veut chronologique. Dans l'ordre d'apparition en Occident on trouve alors. : le quadrant sinus ou quadrans vetustissimus - superlatif latin du quadrant suivant, le quadrans vetus. C'est certainement le premier quadrant introduit en Occident à la fin du . Il comprend un réseau de lignes parallèles à définition trigonométrique. Ce n'est donc pas un quadrant horaire. Il ne sera pas abordé ici ; le quadrant ancien ou quadrans vetus, connu depuis le . C'est la première famille de quadrants horaires caractérisés à l'origine par un diagramme d'heures temporaires se présentant sous forme d'arcs de cercles (comme sur les figures précédentes). Certains quadrants seront adaptés à une seule latitude, d'autres dits universels seront utilisables sous différentes latitudes grâce à un curseur-calendrier facilitant le réglage. Plus tard le quadrant ancien inspirera le tracé de quadrants à heures égales ; le quadrant nouveau ou quadrans novusE. Poulle indique que « c'est l'érudition moderne qui a précisé les termes latins employés, et que le quadrans vetustissimus a été forgé par J.-M Millas-Villacrosa en 1932. », dit aussi astrolabe-quadrant, dont l'invention a longtemps été attribuée à Profacius en 1263. Ce n'est qu'un astrolabe planisphérique réduit par rabattements et rotation à un quart de cercle ; Certains de ces instruments comportent un diagramme d'heures temporaires, comme le quadrant ancien ; des quadrants à heures égales, apparaissent dès avant le . Ils sont liés à l'usage de l'horloge mécanique et à sa mise à l'heure. De construction simple, ils sont dédiés à une seule latitude et le réseau des heures équinoxiales est obtenu de différentes façons.
Récemment, en l'an 2000, l'étude d'un manuscrit conservé à la bibliothèque du Vatican fait apparaitre un nouveau quadrant daté du milieu du .. Il va perturber l'ordre précédemment établi en prenant sa place avant le quadrans vetus. Il portera le nom de quadrans vetustiorvetustior est le comparatif de vetus., nom proposé par E. Poulle entouré d'une équipe d'érudits spécialistes.
Les différents types de quadrants horaires seront présentés ici chronologiquement en tenant compte de ce dernier instrument.
Le quadrant vetustior L'introduction en Occident de ce quadrant est supposée être antérieure au : il est admis correspondre au quadra astrolabii mentionné par Hermann le Boiteux (1013-1054) dans son traité De utilitatibus astrolabii.. Quadrant théorique Comme son nom quadra astrolabii l'indique, il est dérivé de l'astrolabe planisphérique ; c'est donc un instrument conçu pour une latitude unique. La latitude de 47°, comme celle de l'exemple du manuscrit du Vatican, sera choisie pour ce modèle théoriqueSur le modèle théorique voir : .. Il reprend le tracé des cercles astronomiques de l'astrolabe obtenus par projection stéréographique (équateur, tropiques, écliptique) et les place dans un quart de cercle par un double rabattementLa méthode des rabattements des cercles de l'astrolabe se retrouvera un peu plus tard en Occident sur le quadrant nouveau proposé par Profatius en 1288..
500px|vignette|centré|Schéma du principe de construction d'un quadrant vetustior.
la figure de base est la projection stéréographique des cercles astronomiques de l'astrolabe. Le cercle de l'équateur est de couleur émeraude, le tropique du Cancer (été) est en rouge, celui du Capricorne (hiver) en bleu et l'écliptique avec sa division zodiacale est en marron ; la deuxième vue montre le premier rabattement ; la troisième vue, correspondant au second rabattement, peut donner deux quarts de cercle, ou quadrants, suivant le sens (droit ou gauche) du rabattement. Le modèle privilégie ici le quadrant avec rabattement à droite. Cette figure de base est construite à priori pour le milieu du avec la latitude précitée de 47°, une inclinaison de l'écliptique « vraie » de 23°33' et une division angulaire zodiacale de base de 27,9°, 29,9°, 32,2° pour respectivement les signes du Bélier, Taureau et GémeauxLes angles de graduation de l'écliptique sont calculés à partir de la formule où α est l'ascension droite, ε l'inclinaison de l'écliptique et λ la longitude écliptique..
Après ce tracé préliminaire, sont mis en place les arcs de cercle de déclinaison solaire pour l'entrée et le milieu de chaque signe zodiacal.
Pour finir, les lignes horaires temporaires, numérotées de 1 à 6 (midi) pour les heures du matin et de 7 à 11 pour les heures de l’après-midi, sont tracées point à point à partir d'une table des hauteurs du Soleil.
500px|vignette|centré|Table des hauteurs théoriques du Soleil pour l'an 1150.
Cette table est, elle aussi, construite à priori pour le milieu du , avec la latitude précitée de 47°Cette table est calculée à partir d'une formule moderne donnant obliquité de l'écliptique, longitude et déclinaison du Soleil en fonction du jour julien considéré.La formule de référence, complexe, est donnée dans ..
Tracé du quadrant
500px|vignette|centré|Quadrant Vetustior théorique
Quelques remarques : vers le milieu du , le jour du printemps, correspondant à l'entrée du Soleil dans le signe du Bélier, se trouve être le 15 du mois de mars du calendrier julien employé à l'époque ; pour usage, le début des mois est donc admis être confondu avec le milieu de chaque signe zodiacal ; ce sera aussi l'hypothèse retenue dans l'exemple du manuscrit du Vatican ; le quadrant est agrémenté d’un carré des ombres - comme sur certains astrolabes - à usage topographique.
L'exemple du manuscrit du Vatican Le quadrant du manuscrit Vaticano, BAV Ott. lat. 1631, commenté et illustré par Catherine Jacquemard, Olivier Desbordes et Alain Hairie, est du même type que le modèle théorique présenté précédemment. Par contre, le protocole de construction proposé est intéressant dans la mesure où il simplifie le tracé du quadrant en faisant abstraction de tout calcul astronomiqueRappel : .. le tracé du double rabattement des cercles célestes est réalisé à partir d'une construction géométrique originale bien développée dans l'article présenté. Cette proposition implique une valeur de l'obliquité ε ≈ 23°35' donnée par les auteurs de l'articlePour information, ε = 23°35' = 23,583° correspond à une obliquité des années 900 - époque de création de ce type de quadrant ? ;