En théorie analytique des nombres, la fonction ρ de Dickman ou de Dickman-de Bruijn est une fonction spéciale utilisée dans l'estimation de la proportion d'entiers friables jusqu'à une certaine borne.
Elle fut étudiée pour la première fois par l'actuaire Karl Dickman, qui la définit dans son unique publication mathématique. Elle est étudiée plus tard par le mathématicien néerlandais Nicolaas Govert de Bruijn.
Définition La fonction de Dickman est la fonction qui renvoie, pour , le nombre de nombres dont le plus grand facteur premier est sous un seuil donné:
avec le plus grand facteur premier de k .
La fonction de Dickman-de Bruijn est l'unique fonction continue, définie sur R+*, qui est dérivable sur et satisfait l'équation différentielle à retard
pour tout , ainsi que la condition initiale pour .
De Bruijn a donné une expression intégrale de la fonction:
Propriétés On a:
avec la constante d'Euler-Mascheroni et la constante de Golomb-Dickman.
Dickman a montré que pour tout fixé, on a lorsque tend vers l'infini
où est le nombre d'entiers -friables inférieurs à . La version est due à Hildebrand et stipule que pour tout fixé,
lorsque , où .
Applications
La principale utilité de la fonction de Dickman-de Bruijn est l'estimation de la proportion d'entiers qui sont friables et d'une taille donnée. Cela intervient dans l'optimisation de certaines preuves et constructions en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie algorithmique des nombres.
On peut montrer par exemple que
lorsque u tend vers l'infini et . Cela est lié à l'approximation détaillée ci-dessous, et a une grande utilité dans le théorème d'Erdős-Rankin sur les grands écarts entre nombres premiers.
La constante de Golomb–Dickman peut être définie en termes de la fonction de Dickman–de Bruijn.
Estimation En première approximation, on a . Une estimation plus précise est
lorsque tend vers l'infini, où est l'exponentielle intégrale et est l'unique solution réelle positive de l'équation
.
Une majoration simple est , où est la fonction Gamma d'Euler.
1 1 2 3,069 3 4,861 4 4,911 5 3,547 6 1,965 7 8,746 8 3,232 9 1,016 10 2,770
Calcul numérique Pour chaque intervalle du type , où est un entier strictement positif, il existe une fonction analytique telle que lorsque . Ces fonctions peuvent être déterminées par récurrence à partir de l'équation (*). Ainsi, , , et
où est le dilogarithme. Les fonctions peuvent également être exprimées sous forme d'une série entière dont les coefficients sont explicites.
Généralisation Friedlander définit un analogue de , qui est également définie comme la solution d'un système d'équations différentielles aux différences. Cette fonction est utile dans l'estimation du nombre des entiers inférieurs à , dont tous les facteurs premiers sont compris dans l'intervalle (avec ). On a en effet, lorsque et sont fixés avec , et lorsque tend vers l'infini,
Notes et références
Liens externes
Catégorie:Théorie analytique des nombres Dickman