Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.
Description
Soit l'équation différentielle à résoudre :
On considère une suite de temps pour lesquelles on calcule les valeurs . Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre et pour le calcul de . Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs .
Soit une solution exacte de l'équation. On a alors :
On suppose que les points et les pentes soient connues pour .
On calcule alors le polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points :
avec les polynômes de Lagrange suivants
On fait alors l'approximation :
La méthode d'Adams-Bashforth à pas s'écrit donc :
avec
On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule.
Exemples Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients dans le cas où le pas est constant :
0 1 1 2 3
On reconnaît pour r=0 la méthode d'Euler.
Erreur de la méthode
On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait :
Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premières valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.
La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre :
Cependant, les valeurs de βr augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une méthode à pas variable.
Références
Voir aussi Résolution numérique des équations différentielles Extrapolation (mathématiques)
Catégorie:Équations différentielles numériques