En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques —, l’alternative de Fredholm, qui généralise l'un des théorèmes d'Ivar Fredholm, Theorem 3.. — systématisés par Friedrich Riesz. —, est un résultat de la donc de la . Motivée par l'étude de certaines équations intégrales, elle a fait émerger la notion d'opérateur de Fredholm. Elle énonce entre autres que tout scalaire non nul du spectre d'un opérateur compact est une valeur propre de cet opérateur.
Énoncé
L'alternative de Fredholm est la suivante. :
Autrement dit : T – λId est injectif si et seulement s'il est surjectif.
Plus précisément : est un opérateur de Fredholm d'indice 0, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont égales et finies. ; dans le cas où T – λId est bijectif, sa bijection réciproque est continue.
Remarques Puisque T/λ est encore compact, il revient au même d'énoncer le théorème seulement pour λ = 1. Le cas particulier où T est un endomorphisme de rang fini est un simple corollaire du théorème du rang, selon lequel codim(kerT) = rang(T) (sur un corps quelconque). L'hypothèse supplémentaire « E complet » est classique mais superflue. L'image im(T – Id) est fermée et son orthogonal dans E est ker(T – Id).. Si E est un espace de Hilbert., les sous-espaces im(T – Id) et ker(T* – Id) sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre.
Notons .
Lemme 1
Lemme 2 Le sous-espace est fermé.
Lemme 3 Il existe un entier naturel tel que et .
Lemme 4 Pour un entier comme dans le lemme 3, les sous-espaces et sont supplémentaires.
Preuve du théorème Conséquence immédiate du lemme 4.
Compléments Le lemme 1 montre que dans le cas où est bijectif, est continu. Le lemme 4 permet, pour prouver que et sont égales et finies, de remplacer par sa restriction à . La conclusion résulte alors du fait que le noyau de est de dimension finie (car est, comme , égal à ±Id à un compact près).
Formulations particulières Équations intégrales Soient un intervalle réel, une fonction de dans ℝ ou ℂ telle que l'opérateur à noyau associé, défini sur parsoit compact — une condition suffisante pour cela est qu'il soit de Hilbert-Schmidt, c'est-à-dire que || soit de carré intégrable — et un scalaire non nul.
Considérons l'équation intégrale de Fredholm du premier type (c'est-à-dire homogène),
ainsi que sa version du second type,
L'alternative de Fredholm dit que soit la première équation a une solution non nulle, soit la seconde admet une solution pour tout .
Spectre L'alternative de Fredholm peut se reformuler de la sorte. :
Notes et références
Catégorie:Analyse fonctionnelle