En algèbre linéaire, une matrice carrée d'ordre à coefficients positifs est dite productive, ou de Leontief, s'il existe une matrice colonne à coefficients positifs de format telle que la matrice colonne soit à coefficients strictement positifs.
Histoire
La notion de matrice productive a été développée par l'économiste Wassily Leontief (Prix Nobel d'économie en 1973) afin de modéliser et d'analyser les relations entre les différents secteurs d'une économie Kim Minju, Leontief Input-Output Model (Application of Linear Algebra to Economics). Les liens d'interdépendances entre ces derniers peuvent ainsi être étudiés par l'analyse entrées-sorties à l'aide de données empiriques.
Aspects mathématiques
Définition explicite
La matrice est productive si et seulement si et tel que .
Exemples
La matrice est productive.
, la matrice est productive car les inégalités de définition sont vérifiés par .
Propriétés
Caractérisation Théorème Une matrice à coefficients positifs est productive si et seulement si est inversible d'inverse à coefficients positifsPhilippe Michel, "9.2 Matrices productives", Cours de Mathématiques pour Économistes, Édition Economica, 1984.
Transposition Proposition La transposée d'une matrice productive est productive.
Application
Dans une approche matricielle du tableau entrées-sorties, la matrice de consommation est productive si elle est économiquement viable et si cette dernière ainsi que le vecteur de demande ne comportent que des éléments positifs ou nuls.
Notes et références
Catégorie:Économie mathématique et quantitative Catégorie:Algèbre linéaire