Le théorème d'Eisenstein est le résultat suivant de géométrie arithmétique, démontré par Gotthold Eisenstein — . :
En particulier si les coefficients sont rationnels alors les sont entiers., donc les facteurs premiers des dénominateurs des appartiennent à l'ensemble fini des facteurs premiers de .
Exemple
Pour tout entier p > 0,
où les nombres positifs , qui généralisent ceux de Catalan (correspondant au cas p = 2) sont entiers, car on déduit de leur série génératrice,
la valeur et la relation de récurrenceEn utilisant que (1 – pxz) = 1 – px et que le produit des séries génératrices correspond à la convolution des suites, .
Démonstration Soit N le degré par rapport à la variable Y du polynôme P(X, Y). Il existe alors des polynômes P(X, Y) (à coefficients algébriques) tels que
Par hypothèse, P(X, y) = 0. De plus, sans perte de généralité, P(X, y) ≠ 0 — sinon, il suffit de remplacer P(X, Y) par P(X, Y), qui est non nul et dont le degré en Y est < N.
Soit m la valuation de P(X, y), c'est-à-dire le plus petit indice k pour lequel le coefficient de X dans cette série formelle est non nul. On coupe alors y en deux :
Comme on sait que sous les hypothèses du théorème, tous les sont des nombres algébriquesLe corps L qu'ils engendrent, sur le corps de nombres K engendré par les coefficients de P, est même une extension finie car [L:K] = [L((X)):K((X))] = [K((X))(y):K((X))] ≤ N., il suffit, pour prouver la propriété annoncée pour y, de la démontrer pour . Or
Par choix de m, le polynôme P(X, u)X est divisible par X mais pas par X. Comme la somme est nulle, P(X, u) est donc lui aussi multiple de X et en divisant par cette puissance de X, on obtient
Les coefficients des polynômes Q sont algébriques. Quitte à les multiplier par un nombre adéquat, on peut donc supposer que ce sont des entiers algébriques et que est même un entier. Alors, tous les sont des entiers algébriques, par récurrence sur n ≥ 1. En effet, en isolant le terme de degré n dans
on trouve que est une combinaison linéaire, à coefficients entiers algébriques, de termes de la forme
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Dixième problème de Hilbert Suite automatique Théorème de Puiseux Théorie d'Arakelov
Liens externes
Eisenstein