En géométrie, les spirales sinusoïdales sont une famille de courbes planes, regroupant de multiples courbes usuelles.
Définitions Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :
où a est un réel positif et n un réel.
Propriétés La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour , fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles , avec k entier.
La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.
Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.
Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.
La longueur de la courbe vaut :
où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :
La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre .
Cas particuliers
Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :
n= : sextique de Cayley n= : cardioïde n=1 : cercle n=2 : lemniscate de Bernoulli n=3 : courbe de Kiepert
n=- : cubique de Tschirnhausen n=- : parabole n=-1 : droite n=-2 : hyperbole équilatère n=-3 : cubique de Kiepert
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