En géométrie, les coordonnées trilinéaires d'un point relativement à un triangle donné, notées sont, à une constante multiplicative strictement positive près, les distances algébriques relativement aux côtés (étendus) du triangle.
Pour un triangle , le rapport est le rapport des distances algébriques du point aux côtés et respectivement et ainsi de suite par permutation sur .
Le signe d'une coordonnée trilinéaire indique si le point est intérieur au triangle par rapport à un côté : par exemple, la coordonnée est positive s'il se trouve du même côté que par rapport à la droite . Il est ainsi impossible que les trois coordonnées trilinéaires soient négatives.
Détermination des coordonnées trilinéaires L'aire algébrique d'un triangle est , positive si est direct, négative sinon. Or où est la distance algébrique de à la droite orientée de vers . Pour un triangle de sens direct et de côtés de longueur , les coordonnées trilinéaires d'un point sont donc :
ou .
Le triplet étant un triplet de coordonnées barycentriques de , on en déduit que si a pour coordonnées trilinéaires , il a pour coordonnées barycentriques .
Propriétés Pour un triangle donné et un point défini par ses coordonnées trilinéaires , alors : le point de coordonnées trilinéaires est le conjugué isogonal de ; l'intersection de la cévienne partant de et passant par a pour coordonnées trilinéaires ; de façon similaire, les deux autres sommets du triangle cévien ont pour coordonnées trilinéaires et ; le triangle formé par les points de coordonnées trilinéaires respectives est le triangle anticévien de par rapport à .
Exemples Voici les coordonnées trilinéaires de quelques points remarquables du triangle :
milieu de milieu de milieu de centre du cercle inscrit centre de gravité centre du cercle circonscrit orthocentre centre du cercle d'Euler point de Lemoine On trouvera dans l'encyclopédie des centres de triangle (ETC) les coordonnées trilinéaires de milliers de points remarquables du triangle.
Équation de droite à partir de coordonnées trilinéaires Pour un point de coordonnées trilinéaires , l'équation
est l'équation d'une droite, appelée droite centrale liée au point considéré..
Pour deux points de coordonnées trilinéaires et , l'équation de la droite passant par ces deux points est donnée par :
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Coordonnées barycentriques
Liens externes
trilinéaires