En mathématiques, le théorème de Schur-Horn est un théorème d'algèbre linéaire caractérisant l'ensemble des diagonales possibles, pour une matrice hermitienne de valeurs propres prescrites.
Énoncé Étant donnés réels
s'il existe une matrice hermitienne d'éléments diagonaux les et de valeurs propres les , alors (théorème de Schur..)
Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées alors (théorème de Horn..) il existe une matrice hermitienne, et même une matrice réelle symétrique, d'éléments diagonaux les et de valeurs propres les .
Reformulation
Pour deux vecteurs de ℝ,
il existe une matrice hermitienne (et même alors une matrice réelle symétrique) d'éléments diagonaux les et de valeurs propres les si et seulement si (lire : « majorise »), c'est-à-dire — par définition — si, lorsqu'on réordonne de façon décroissante les composantes de ces deux vecteurs, l'égalité et les inégalités ci-dessus sont vérifiées.
Or il existe des caractérisations équivalentes de la majorisation : majorise si et seulement s'il existe une matrice bistochastique telle que . majorise si et seulement s'il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est , le dernier est et le successeur de chaque vecteur est une combinaison convexe de et de l'un de ses transposés.
Démonstration Notons la matrice diagonale des .
⇒ : Soit une matrice hermitienne , de valeurs propres les et de diagonale les . Puisque est normale, il existe une matrice unitaire telle que donc autrement dit, en notant et :
Comme est unitaire, est bistochastique, ce qui prouve que majorise .
⇐ : Réciproquement, supposons que majorise . On peut alors passer de à par une suite finie de vecteurs dont chacun est obtenu à partir du précédent en ne modifiant que deux composantes , augmentant d'au plus et diminuant d'autant. Construisons par récurrence, pour chaque vecteur de cette suite (en particulier pour le dernier, ce prouvera l'implication), une matrice réelle symétrique de valeurs propres les et de diagonale . Pour le premier vecteur, , la matrice convient. Supposons construite une matrice pour le vecteur et construisons une matrice pour son successeur , qui ne diffère de que par deux coordonnées, par exemple, pour simplifier les notations : et avec compris entre et . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un angle entre et tel que
Soient la matrice de rotation plane d'angle et la matrice identité de taille . La matrice diagonale par blocs
est orthogonale, et un calcul immédiat montre que convient.
Notes et références
Article connexe Inégalité de Hadamard
Catégorie:Théorie des ordres Schur-Horn Catégorie:Matrice Catégorie:Théorie spectrale