En mathématiques, une suite de Somos est une suite de nombres définie par une certaine relation de récurrence ; elles furent découvertes par Michael Somos. Il n'est nullement évident d'après leur définition qu'elles soient formées d'entiers, mais c'est cependant le cas des sept premières suites.
Relations de récurrence Pour un entier k > 1, la k-suite de Somos est définie par la relation de récurrence :
pour k impair, et par la relation similaire
pour k pair, avec les valeurs initiales ai = 1 pour i < k.
Pour k = 2 ou 3, ces relations définissent la suite constante (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). Les deux premiers cas non triviaux correspondent aux récurrences
pour k = 4 et
pour k = 5.
Les premières valeurs de ces suites sont : 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (k=4, ), 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (k=5, ), 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (k=6, ), 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (k=7, ).
Suites d'entiers Bien que les récurrences précédentes définissent les suites de Somos sous forme de fractions, les suites pour k ≤ 7 ne contiennent que des valeurs entières. Plusieurs mathématiciens ont étudié cette propriété, pour la démontrer Une démonstration élémentaire pour le cas k=5, due à Michael Crabb (de l'université de Glasgow), se trouve sur . ou pour l'expliquer plus généralement, en la reliant en particulier à d'autres questions, comme celle des fonctions thêta sur des surfaces abéliennes.
Pour k ≥ 8, les suites analogues finissent par contenir des valeurs non entièresVoir la . ; même pour k < 7, la même relation de récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes, produit également des valeurs non entières en général.
Notes et références
Liens externes Site de Jim Propp sur les suites de Somos. . .
Somos