En théorie des nombres, l'écart entre nombres premiers désigne la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
De nombreux résultats et conjectures sont liés à cet objet. Par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux dit que la suite des écarts entre nombres premiers prend la valeur 2 un nombre infini de fois, et la conjecture de Polignac que cette suite prend un nombre infini de fois la valeur pour tout entier strictement positif .
Ainsi les 30 premiers écarts () sont : 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14.
Définition En notant le -ième nombre premier, le -ième écart est : .
Ce qui permet aussi d'écrire .
Observations simples De même que , la suite ) est non bornée : si l'on note le produit , tous les entiers de à sont composés, puisque divisibles par l'un des et (référence fournie par )..
Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.
(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.
Le plus petit nombre premier ayant un écart égal à avec le suivant augmente fortement (mais irrégulièrement) avec la valeur de ; par exemple, l'écart 906 apparaît pour la première fois après 218 209 405 436 543. La suite des valeurs du plus petit tel que le nombre premier suivant soit : 3, 7, 23, 89, 139, 199, 113, 1831,... est répertoriée comme .
Résultats et conjectures
D'après le postulat de Bertrand, .
Le théorème des nombres premiers suggère que est. asymptotiquement de l'ordre de , et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme.. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.
L'écart le plus fréquent entre nombres premiers évolue selon la profondeur de l'analyse. En faisant le décompte des écarts jusqu'à 492, l'écart le plus fréquent est 2, puis il passe à 4 jusqu'à 564, puis enfin 6. On conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de ..
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Inégalité de Bonse Constellation de nombres premiers
Liens externes
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