En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le théorème min-max de Courant.-Fischer. donne une caractérisation variationnelle des valeurs propres d'une matrice hermitienne. Il permet donc de caractériser les valeurs singulières d'une matrice complexe quelconque. Il s'étend aux opérateurs compacts autoadjoints sur un espace de Hilbert, ainsi qu'aux opérateurs autoadjoints bornés inférieurement.

Énoncé Soit une matrice hermitienne , de valeurs propres (répétées selon leur multiplicité). Notons, pour tout de à , l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension de ℂ et pour tout vecteur non nul, le quotient de Rayleigh , où désigne le produit scalaire hermitien canonique. Alors,

ou encore, par homogénéité :

Si est de plus réelle (donc symétrique), on a les mêmes égalités en remplaçant par l'ensemble des sous-espaces de dimension de ℝ..

Démonstration

Comme est normale, il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres pour , associés (dans cet ordre) aux .

D'après la formule de Grassmann, tout sous-espace de dimension contient au moins un vecteur unitaire du sous-espace engendré par . Un tel vecteur s'écrit

donc vérifie

ce qui prouve que

(il s'agit bien d'un minimum car la borne inférieure est atteinte, par compacité et continuité).

Pour égal au sous-espace engendré par , ce minimum est atteint pour et est égal au majorant , ce qui achève la preuve de la première égalité. La seconde se démontre de même, ou se déduit de la première appliquée à .

Applications

Caractérisation des valeurs singulières Soit une matrice complexe avec . Les valeurs singulières de sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice positive . Un corollaire immédiat du théorème de Courant-Fischer est donc. :

Théorème d'entrelacement de Cauchy

Soient une matrice hermitienne et une matrice m × m déduite de par (, où est une matrice telle que ). Alors, les valeurs propres de et de vérifient. : pour tout ,

En particulier si alorsPour une autre preuve dans ce cas, voir . , d'où le nom d'entrelacement.

Opérateurs compacts Soit un espace de Hilbert. Tout opérateur autoadjoint sur se décompose canoniquement en la différence de deux opérateurs de produit nul (par calcul fonctionnel continu, en lui appliquant les fonctions partie positive et partie négative).

Soit un opérateur compact positif sur . Ses valeurs propres non nulles sont de multiplicité finie et forment une suite décroissante et l'on a encore (en notant l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension de ) ne mentionne que la seconde expression. :

Notes et références

Voir aussi Articles connexes

Théorème de Gerschgorin

Bibliographie et B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1977

Min-max Catégorie:Théorie spectrale Catégorie:Théorie des opérateurs